4.2. Найти величину магнитного поля на оси равномерно заряженного диска радиуса $a$ (полный заряд диска равен $Q$), вращающегося вокруг оси с угловой скоростью $\omega$ на расстоянии $h$ от диска.

Магнитное поле (\(z\)-компонента) от тонкого кольца с радиусом \(r\) шириной \(dr\) в соответствии с формулой (2) из задачи 4.1: \[ dH_z = \frac{{2\pi r^2 }}{c}\frac{{dJ}}{{\left( {h^2 + r^2 } \right)^{3/2}} }. \] Ток \(dJ\), текущий в кольце с радиусом \(r\) шириной \(dr\), равен \[ dJ=\frac{Q}{{\pi a^2 }}\omega rdr. \] Тогда магнитное поле всего диска на оси $$ H_z\left( h \right) = \frac{2\pi \omega Q}{c\pi a^2 }\int\limits_0^a {\frac{r^3 dr}{\left( {h^2 + r^2 }\right)^{3/2}}} = $$ $$ \left. {\frac{{2\omega Q}}{{ca^2 }}\left( {\sqrt {h^2 + r^2 } + \frac{{h^2 }}{{\sqrt {h^2 + r^2 } }}} \right)} \right|_0^a = $$ $$ \frac{{2\omega Q}}{{ca^2 }}\left( {\frac{{2h^2 + a^2 }}{{\sqrt {h^2 + r^2 } }} - 2h} \right). $$