1.11. Найти частоту световой волны, наблюдаемой при поперечном эффекте Доплера (в системе, связанной с приемником, свет распространяется перпендикулярно направлению движения источника). Каково направление распространения света в системе, связанной с источником?

$$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left(\frac{\omega}{c},0,k,0\right)$$ — волновой четырёхвектор в лабораторной СО $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\cos\theta'\\ k'\sin\theta'\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ 0\\ k\\ 0 \end{array}\right)$$ т.е. $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega}{c}, \ \ k'\cos\theta'=-\frac{v}{c}\gamma\frac{\omega}{c},$$ тогда $$k'\cos\theta'=\cos\theta'\gamma\frac{\omega}{c}=-\frac{v}{c}\gamma\frac{\omega}{c}, $$ следовательно, $$\cos\theta'=-\frac{v}{c}.$$