3.12. Рассчитать изменение видности интерференционных полос в схеме Юнга по мере увеличения ширины источника.

На экране наблюдается картина интерференции от двух параллельных щелей, расположенных на расстоянии $d$ друг от друга в схеме Юнга. Источник некогерентного света находится на большом расстоянии от щелей и представляет собой равномерно светящуюся полосу углового размера $\alpha_{0}\ll 1.$

Рассмотрим результат прихода в точку $P$ экрана. Воспользуемся решением задачи 3.2., тогда разность фаз от $S$ — источника с расстоянием до оси $y$ будет $$ \phi_{n}(x,d)=\frac{kdx}{b}+\frac{kdy}{a}=kd\left(\alpha+\beta\right), $$ где $$\frac{x}{b}=\text{tg}\beta\approx\beta,\,\frac{y}{a}=\text{tg}\alpha\approx\alpha.$$

Так как источники не когерентны, то складываться будут не поля, а интенсивности:

$$I={\displaystyle \int dI}={\displaystyle \intop_{-\frac{1}{2}\alpha_{0}}^{\frac{1}{2}\alpha_{0}}}\frac{I_{0}}{\alpha_{0}}2\left(1+\cos kd\left(\alpha+\beta\right)\right)d\alpha=\frac{I_{0}}{\alpha_{0}}2\left.\left(1+\frac{1}{kd}\sin kd\left(\alpha+\beta\right)\right)\right|_{-\frac{1}{2}\alpha_{0}}^{\frac{1}{2}\alpha_{0}}=$$

$$\frac{I_{0}}{\alpha_{0}}2\left(\alpha_{0}+\frac{1}{kd}\left(\sin kd\left(\frac{1}{2}\alpha_{0}+\beta\right)-\sin kd\left(-\frac{1}{2}\alpha_{0}+\beta\right)\right)\right)=$$

$$\frac{I_{0}}{\alpha_{0}}2\alpha_{0}\left(1+\text{sinc}\frac{kd\alpha_{0}}{2}\cos kd\beta\right).$$

с учётом

$$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\cos\left(\beta\right)+\sin\left(\beta\right)\cos\left(\alpha\right)$$

и $$\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\alpha}=\text{sinc}\left(\alpha\right).$$

Осталось вычислить видность

$$V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\left|\text{sinc}\frac{kd\alpha_{0}}{2}\right|=\left|\text{sinc}\frac{\pi d\alpha_{0}}{\lambda}\right|.$$

Видность первый раз обращается в ноль при $$\frac{\pi d\alpha_{0}}{\lambda}=\pi,$$ следовательно, можем найти малый угол $$\alpha_{0}=\frac{\lambda}{d}.$$