3.3. В бесконечную проводящую с проводимостью $\sigma$ и проницаемостью $\varepsilon$ среду помещен заряд $Q$. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого заряд в этой точке уменьшится в $e$ раз.

Пусть в момент времени $t$ внутри объема $V$, куда первоначально был помещен заряд $Q_0$, находится заряд $\,Q(t)$. За время $\,dt$ из объема вытечет количество заряда $$dQ=-\bigg(\int\limits_S(\vec{j}\,d\vec{s})\bigg)\,dt\,,$$ где $\,\displaystyle\int_S(\vec{j}\,d\vec{s})$ — полный ток через поверхность $S$, ограничивающий объем $V$; $\,\vec{j}$ — вектор плотности тока на этой поверхности. Используя дифференциальный закон Ома $\;\vec{j}=\sigma\vec{E}$, находим, что $$\frac{dQ}{dt}=-\frac{\sigma}{\varepsilon} \int\limits_S(\vec{D}\,d\vec{s})=-\frac{\sigma}{\varepsilon}\,4\pi Q.$$ Решая это дифференциальное уравнение и используя начальное условие $Q(0)=Q_0$, получаем $$Q=Q_0e^{\textstyle -\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}t}= Q_0e^{\textstyle -\frac{t}{\tau}},$$ откуда видно, что заряд уменьшается в $\,e$ раз за время $\;\tau=\frac{\varepsilon}{4\pi\sigma}$.