1.3. Три одинаковых частицы имеют массу $m$ и заряд $-q$ каждая. Расстояние между каждой парой $a$. Они движутся на неизменном расстоянии вокруг центральной частицы, заряд которой равен $+q$. При какой скорости частиц система находится в равновесии? Какова энергия полной «ионизации» системы?

\(m\)– масса, \(q\)– заряд, \(a\) – расстояние. Высота $h$ в правильном треугольнике \( h = \sqrt{a^2 - \frac{{a^2 }}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \). Суммарная сила, действующая на каждую частицу в вершинах треугольника: \[ \vec{F}_{\Sigma}=\vec{F}_1+\vec{F}_2-\vec{F}_3=\left[2F_1\cos(\pi/6)-F_3\right]\vec{e}_r, \] где вектор $\vec{e}_r$ направлен от центра треугольника к каждому заряду. \[ F_1=\frac{q^2}{a^2},\;\;F_3=\frac{q^2}{(2/3h)^2} \] \[ F_\Sigma = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 - \frac{{3q^2 }}{{a^2 }} = - \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right). \] Поскольку получилось отрицательное значение силы, значит она направлена к центру и, следовательно, возможно вращение частиц вокруг центра со скоростью, определяемой из условия равновесия – равенства суммарной силы, действующей на каждую частицу, центробежной силе, т.е. \[ \frac{{mv^2 }}{r} = F_\Sigma. \]

\[ \frac{{mv^2 \sqrt 3 }}{a} = \frac{{q^2 }}{{a^2 }}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right) \]

Полная энергия системы в этом равновесном состоянии равна \[ E = T + U = 3\frac{{mv^2 }}{2} + \frac{1}{2}(3U_1+U_0), \] где первый член – это утроенная кинетическая энергия одной движущейся частицы, второе слагаемое – это вклад каждой движущейся частицы в общую энергию взаимодействия за счет взаимодействия с другими, а третье слагаемое - вклад покоящейся частицы в общую энергию за счет взаимодействия с движущимися. Точнее, это будет выглядеть так. Полная энергия взаимодействия имеет вид \[ U=\frac{1}{2}\sum_{i,j,i\neq j}q_i\varphi_{ji}, \] где $\varphi_{ji}$ – потенциал, который создает $j$-й заряд в точке, где находится заряд $i$. Для примера рассмотрим чему равен член $U_1$ в выражении для полной энергии \[ U_1=q\left(\varphi_{21}+\varphi_{31}+\varphi_{01}\right)= q\left(\frac{q}{a}+\frac{q}{a}-\frac{q}{2/3h}\right)=\frac{q^2}{a}\left(2-\sqrt{3}\right). \] Выражение для $U_0$ запишем аналогично в виде \[ U_0=-q3\frac{q}{2/3h}=-3\frac{q^2}{a}\sqrt{3}. \] Собирая все члены потенциальной энергии получим \[ U=\frac{1}{2}\left[3U_1+U_0\right]=-3\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right). \] Используя ранее полученное выражение для скорости, полную энергию можно переписать в виде \[ E=T+U=3\left[\frac{mv^2}{2}-\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right)\right]=-\frac{3}{2}\frac{q^2}{a}\left(\sqrt{3}-1\right). \] Для того, чтобы «ионизовать» систему, т.е. чтобы частицы разлетелись на бесконечность с нулевой скоростью, необходимо чтобы полная энергия системы стала равной нулю. Тогда очевидно, что необходимо «добавить» в систему энергию