Вычислим квадрупольный момент системы. Ось $\vec{OZ}$ выделенная направлением расположения зарядов. Поместим в центр с координатой $z=0$ второй заряд $q_2=-2q$, тогда первый и третий заряды будут соответственно с координатами $z_1=-a$, $z_3=a$. Итак \[ D_{zz} = \sum {q_i } \left( {3z_i^2 - r_i^2 } \right) = q(3a^2-a^2) -2q(0-0) + q(3a^2-a^2) = 4qa^2 = D, \] \[ D_{xx} = D_{yy} = - \sum {q_i r_i^2 } = - 2qa^2. \] Используя найденные квадрупольные моменты запишем потенциал \[ \varphi = \frac{{D_{\alpha \beta } n_\alpha n_\beta }}{{2R^3 }}, \] где соответствующие направления вектора $\vec R$, выраженные через углы сферических координат: \[ n_x = \sin \theta \cos \phi , \] \[ n_y = \sin \theta \sin \phi , \] \[ n_z = \cos \theta . \] Подставляя $$ \varphi = \frac{D_{xx} n_x^2 + D_{yy} n_y^2 + D_{zz} n_z^2 }{2R^3} = $$ $$ \frac{D}{2} \cdot \frac{1}{2R^2}\left(-n_x^2-n_y^2+2n_z^2 \right) = $$ $$ \frac{D}{4R^3}\left( - 1 + 3n_z^2 \right) $$ и окончательно:

Для вычисления определимся с координатами зарядов:

Вычислим момент \[ D_{xx} = \sum {q_i \left( {3x_i^2 - r_i^2 } \right)} = \] $$ q \cdot 0 - q \cdot (0 - a^2) + q \cdot (3a^2 - (\sqrt{2} a)^2 ) - q\cdot (3 a^2 - a^2) = 0. $$ Из симметрии $D_{yy} = 0$. Так как след матрицы $D_{ij}$ равен нулю, т.е. $0=D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}$ следует, что $ D_{zz} = 0 $. Вычислим, теперь \[ D_{xy} = 3(q \cdot 0 \cdot 0 -q\cdot 0 \cdot a + q\cdot a \cdot a - q\cdot a \cdot 0 ) = 3qa^2. \] Из симметрии: \[ D_{yx} = D_{xy} = 3qa^2. \] Запишем, теперь, потенциал: