183. Ёмкостные коэффициенты системы двух проводников равны $c_{11},$ $c_{22},$ $c_{12}=c_{21}.$ Найти ёмкость $C$ конденсатора, обкладками которого служат эти два проводника.

Под ёмкостью конденсатора, как всегда, понимаем: $$ C=\frac{Q}{\varphi_{1}-\varphi_{2}} $$ отношение заряда на одной из пластин к разности потенциалов. Положим, тогда на две пластины два противоположных заряда и найдём разность потенциалов. Неизвестную матрицу потенциальных коэффициентов найдём из матрицы ёмкостных коэффициентов: $$ S=\left(\begin{array}{cc} c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}\left(\begin{array}{cc} c_{22} & -c_{21}\\ -c_{12} & c_{11} \end{array}\right), $$ тогда потенциал первой пластины: $$ \varphi_{1}=\frac{Qc_{22}}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}-\frac{-Qc_{21}}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}=\frac{Q\left(c_{22}+c_{21}\right)}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}} $$ и второй пластины: $$ \varphi_{2}=\frac{Q\cdot(-c_{12})}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}+\frac{-Qc_{11}}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}=-\frac{Q\left(c_{12}+c_{11}\right)}{c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}. $$ Подставим, теперь, разность потенциалов в первоначальную формулу, получим ёмкость: