3.101. Прозрачная периодическая структура с показателем преломления $n$ освещается плоской монохроматической волной, падающей нормально на верхнюю границу. Подобрать глубину $h$ так, чтобы главные фраунгоферовы дифракционные максимумы первого порядка имели наибольшую интенсивность. Какова при этом интенсивность нулевого максимума?

Воспользуемся результатами задачи 3.72. В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля (в приближении Фраунгофера) каждый участок щели является источником плоских волн вида $$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$ где $\Delta=x\sin\varphi.$

Амплитуда суммарного поля от щели под углом $\varphi,$ которое для наблюдения на экране собирается линзой в плоскости изображения, равна

$$E_{1}=\int_{0}^{a}\frac{E_{0}}{a}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{a}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{a}=$$

$$ \frac{E_{0}}{a}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}ka\sin\varphi)}\frac{e^{i\frac{1}{2}ka\sin\varphi}-e^{-i\frac{1}{2}ka\sin\varphi}}{ik\sin\varphi}=$$

$$\frac{E_{0}}{a}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}ka\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right).$$

Соседний промежуток отличается на фазу $\psi =kh(n-1)$ и $\psi_{2}=-ka\sin\varphi ,$ тогда его вклад

$$E_{2}=e^{i\psi-ika\sin\varphi}E_{1}.$$ Их сумма $$E_{1}+E_{2}=E_{1}e^{i\frac{\psi}{2}}\left(e^{i\frac{\psi}{2}-\frac{i}{2}ka\sin\varphi}+e^{-i\frac{\psi}{2}+\frac{i}{2}ka\sin\varphi}\right)= $$ $$ 2E_{1}e^{i\frac{\psi}{2}-\frac{i}{2}ka\sin\varphi}\cos\left(\frac{\psi}{2}-\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right)$$ Рассмотрим, теперь $N$ щелей, тогда интеграл будет по $N$ промежуткам, в результате он даст дополнительный множитель: $$\frac{e^{-iNka\sin\varphi}}{e^{-ika\sin\varphi}}\frac{\sin\left(Nka\sin\varphi\right)}{\sin\left(ka\sin\varphi\right)}$$

Тогда интенсивность

$$I=I_{0}\left(\frac{\sin\left(Nka\sin\varphi\right)}{N\sin\left(ka\sin\varphi\right)}\right)^{2}\cos^{2}\left(\frac{\psi}{2}-\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right)\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right)$$ где $I_{0}$ — интенсивность главного максимума.

Если главные фраунгоферовы дифракционные максимумы первого порядка имеют наибольшую интенсивность, то $ka\sin\varphi=\pi$. Тогда $$\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}\pi\right)=\frac{4}{\pi^{2}}.$$

Что бы произведение $$\cos^{2}\left(\frac{\psi}{2}-\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right)\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right)$$ было максимальным надо что бы $$\frac{\psi}{2}-\frac{1}{2}ka\sin\varphi=\pi m,$$ т.е. $\psi=\pi+2\pi m=kh(n-1)$. Следовательно, $$h=\frac{\lambda (2m+1)}{2(n-1)}.$$

Для нулевого максимума, когда $ka\sin\varphi=0,$ тогда $$\cos^{2}\left(\frac{\psi}{2}-\frac{1}{2}ka\sin\varphi\right)=\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}+\pi m-\frac{1}{2}\cdot0\right)=\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$ Следовательно, интенсивность в нулевом максимуме — будет равна нулю.