3.72. Найти угловое распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на экране:

а) с одной щелью шириной $b;$ Оценить относительные интенсивности максимумов, ближайших к главному.

б) с двумя щелями ширины $b$ и расстоянием $a$ между ними.

В соответствии с принципом Гюйгенса Френеля (в приближении Фраунгофера) каждый участок щели является источником плоских волн вида $$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$ где $\Delta=x\sin\varphi.$

Амплитуда суммарного поля от щели под углом $\varphi,$ которое для наблюдения на экране собирается линзой в плоскости изображения, равна $$ E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{b}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{b}= $$ $$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{e^{i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}-e^{-i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}}{ik\sin\varphi}=$$

$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{2\sin\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)}{k\sin\varphi}= $$ $$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$ Тогда интенсивность

$$I\sim|E|^{2}\sim I_{0}\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$

Найдём максимумы:

$$\frac{dI}{du}=I_{0}\frac{d\left(\frac{\sin^{2}u}{u^{2}}\right)}{du}=\frac{2}{u^{2}}\sin u\cos u-\frac{2}{u^{3}}\sin^{2}u=0.$$

следовательно $\text{tg}u=u$.

Главный максимум будет при $u=0$ следующий недалеко от $u=\pi+\frac{\pi}{2}$.

Если задачу решать точно, например в Maple, то $u\approx\pi+1.35$ — точность 15 %.

Тогда $\text{sinc}^{2}u\approx0.047\approx\frac{1}{20}$

Рассмотрим, теперь две щели.

Тогда новый интеграл будет интегралом по двум щелям

$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx+\int_{d}^{d+b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx.$$

Произведём замену во втором интеграле $x'=x-d$

$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-kx\sin\varphi)}dx+e^{-ikd\sin\varphi}\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx'\sin\varphi)}dx'=$$

$$\left(1+e^{-ikd\sin\varphi}\right)\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-kx\sin\varphi)}dx=$$ $$ \left(1+e^{-ikd\sin\varphi}\right)\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)=$$

$$2e^{-\frac{1}{2}ikd\sin\varphi}\cos\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$

Тогда интенсивность $$I=4I_{0}\cos\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$