3.115. Найти пропускание $T$ голограмм, полученных в предыдущей задаче (голограммы проявлены до коэффициента контрастности $\gamma = -2,$ где $T \sim I^{-\frac \gamma 2};$ считать, что при экспонировании голограмм интенсивность опорной волны была много больше интенсивности предметной волны). Найти волновое поле за голограммами в обоих случаях при освещении ее нормально падающей плоской волной (той же длины волны).

Пропускание $T\sim I^{-\frac{1}{2}\gamma}$, где $\gamma=-2$ — коэффициент контрастности, тогда $T\sim I$.

Т.е. чем больше света раньше падало тем сейчас при освещении светом — тем больше пройдёт.

Тогда освещая экран плоской волной

$$E=Ae^{ikz-i\omega t}$$

в результате, на поверхности голограммы, получим поле $$E_{\text{г}}=T(x)Ae^{-i\omega t}.$$ Поле за голограммой

$$E_{\text{г}}=\left(E_{0}^{2}+E^{2}+2E_{0}E\cos\left(kx\beta-k\frac{x^{2}}{2f}\right)\right)Ae^{ikz-i\omega t}=$$

$$\left(E_{0}^{2}+E^{2}\right)Ae^{ikz-i\omega t}+E_{0}EA\left(e^{ikz+ikx\beta-ik\frac{x^{2}}{2f}-i\omega t}+e^{ikz-ikx\beta+ik\frac{x^{2}}{2f}-i\omega t}\right).$$

Первое слагаемое описывает плоскую волну амплитудой $$\left(E_{0}^{2}+E^{2}\right)A$$ распространяющейся по направлению $z,$ ещё два слагаемых с амплитудой $E_{0}EA$ преобразуем, обращая внимание на фазу:

$$\psi_{1,2}=\pm\left(k\frac{x^{2}}{2f}-kx\beta\right)=$$ $$\pm\left(k\frac{\left(x-f\beta\right)^{2}}{2f}-\frac{1}{2}kf\beta^{2}\right),$$ тогда волна $$ E_{0}EAe^{ikz+ik\left(\frac{\left(x-f\beta\right)^{2}}{2f}-\frac{1}{2}f\beta^{2}\right)-i\omega t}$$

распространяется под углом $-\beta$ от точечного источника, «расположенного» на расстоянии $f$ перед голограммой и смещённую по $x$ на расстояние $f\beta.$ Это волна расходящаяся.

Вторая волна $$E_{0}EAe^{ikz-ik\left(\frac{\left(x-f\beta\right)^{2}}{2f}-\frac{1}{2}f\beta^{2}\right)-i\omega t}$$ сходящаяся, распространяется под углом $\beta$ к источнику на расстоянии $f$ за голограммой и смещённую по $x$ так же на расстояние $f\beta.$

В случае восстановления голограммы б) с интенсивностью

$$I_{\text{б)}}\sim\left(E_{1}+E_{2}\right)\left(E_{1}+E_{2}\right)^{*}= $$ $$E_{0}^{2}+E^{2}+2E_{0}E\cos\left(kx(n-1)\alpha\right)$$

то возникает три плоских волны:

$$E_{\text{г}}=\left(E_{0}^{2}+E^{2}\right)Ae^{ikz-i\omega t}+E_{0}EA\left(e^{ikz+ikx\beta-i\omega t}+e^{ikz-ikx\beta-i\omega t}\right)$$

распространяющиеся прямо и под углами $\pm\beta$.