Сила взаимодействия заряженной сферы с зарядом $q$ есть сила, с которой действует сфера на заряд $q$. Эта сила равна $$ \vec{F}=q\vec{E}(\ell), $$ где $\vec{E}(\ell)$ — напряженность электрического поля, которая создается заряженной сферой на месте заряда $q$. Для нахождения поля $\vec{E}(\ell)\,$ воспользуемся методом изображений. Как было показано в задаче 2.27, поле индуцированных зарядов незаряженной сферы можно представить суперпозицией полей, создаваемых двумя точечными зарядами: $q'=\frac{-qa}{\ell}\,$, расположенным на расстоянии $\ell'=\frac{a^2}{\ell}\,$ от центра сферы, и $(-q')$, расположенным в центре сферы. Нетрудно понять, что в случае заряженной сферы для определения поля во внешнем пространстве, создаваемого сферой, нужно к зарядам $q'$ и $(-q')$ добавить заряд сферы, поместив его в центр, чтобы поверхность сферы осталась эквипотенциальной.

Итак, $$\vec{E}(\ell)= \biggl[\frac{\bigl(Q+qa/\ell\bigr)}{\ell^2}- \frac{qa/\ell}{(\ell-\ell\,\acute{}\;)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}= \biggl[\frac{Q}{\ell^2}- \frac{qa^3(2\ell^2-a^2)}{\ell^3(\ell^2-a^2)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}\,,$$ $$\vec{F}=\biggl[\frac{Qq}{\ell^2}- \frac{q^2a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell^3(\ell^2-a^2)^2}\biggr] \frac{\vec{\ell}}{\ell}\,.$$

Если заряд $$Q>q\frac{a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell(\ell^2-a^2)^2}\,,$$ то сфера отталкивает заряд $q$. При $$Q<q\frac{a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell(\ell^2-a^2)^2}\,$$ сфера притягивает заряд $q$.

Когда $$Q=q\frac{a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell(\ell^2-a^2)^2}\,,$$ сила равна нулю. Сила, действующая со стороны заряда на сферу, равна $(-\vec{F})$.