5.7. В однородное магнитное поле $\vec{H}_0$ вносится шар радиуса $a$ с магнитной проницаемостью $\mu_1$. Определить результирующее поде, индуцированный магнитный момент шара $\vec{m}$ и плотность токов $\vec{j}_\text{мол}$, эквивалентных приобретаемой шаром намагниченности. Магнитная проницаемость окружающей среды $\mu_2$.

В области, в которой нет токов, магнитное поле определяется системой уравнений \[ \text{rot} \vec H=0;\;\;\text{div} \vec B=0; \] С граничными условиями на границе раздела сред (на границе шар-окружающая среда) \[ H_{1\tau}=H_{2\tau};\;\;B_{1n}=B_{2n}. \] Поскольку \(\text{rot} \vec H=0\), то мы получим в точности такую же математическую задачу, как и задачу о электростатическом поле при наличии границы раздела двух диэлектриков (задача 2.8а). Тогда, выполнив замену \[ \varepsilon_{1,2} \rightarrow \mu_{1,2},\;\;\vec E \rightarrow \vec H,\;\;\vec B \rightarrow \vec D \] можно записать решение для магнитного поля, используя ранее полученное решение для электростатического поля \[ \begin{split} \vec H_1 = &\frac{{3\mu _2 \vec H_0 }}{{\mu _1 + 2\mu _2 }},\\ \vec H_2 = &\vec H_0 - \frac{{\vec m}}{{r^3 }} + \frac{{3\left( {\vec m\vec r} \right)\vec r}}{{r^5}},\\ \vec m=&\frac{{\mu _1 - \mu _2 }}{{\mu _1 + 2\mu _2 }}\vec H_0 a^3. \end{split} \] Плотность объемных токов \[\vec{j}_{\text{мол}_i}=c \ \text{rot} \vec M_i=0,\] где $$M_i=\frac{1}{4\pi}(B_i-H_i)=\frac{1}{4\pi}(\mu _i-1)H_i.$$ Плотность поверхностных токов \[\vec i_\text{мол}=c \left[\vec n \times (\vec M_2-\vec M_1)\right],\;\; i_\alpha = \frac{3}{{4\pi }}\frac{{\mu _1 - \mu _2 }}{{\mu _1 + 2\mu _2 }}cH_0 \sin \theta\].