6.83. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле, меняющееся с частотой $\omega$. Найти результирующее поле и среднюю поглощаемую шаром мощность при больших частотах. Радиус шара — $a$, магнитная проницаемость — $\mu$, проводимость — $\sigma$.

Указание. При определении поля вне шара считать, что внутри шара поле равно нулю (т.е. пренебречь глубиной проникновения $\delta$ по сравнению с радиусом шара $a$). При определении поля внутри шара, считать его поверхность плоской.

При больших частотах магнитное поле проникает лишь в тонкий поверхностный слой проводника. Глубина проникновения $\,\delta \ll a$. Для вычисления поля вне проводника можно пренебречь толщиной этого слоя, т. е. считать, что внутрь тела магнитное поле не проникает. По шару будут течь поверхностные токи. Эти токи создадут магнитный момент шара $\;\vec{m}=b\vec{H}_0$, так что поле вне шара согласно результатам задачи 5.9 можно записать как $$\vec{H}=\vec{H}_0-\frac{\vec{m}}{R^3}\,+ \frac{3\vec{R}(\vec{m}\,\vec{R})}{R^5} \qquad\mbox{при}\qquad R\,>\,a\,.$$

Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индукции на поверхности шара $\;B_R\big|_{R=a}=0$ получим $$H_0\,\cos\theta- \frac{bH_0\,\cos\theta}{a^3}+ \frac{3bH_0\,\cos\theta}{a^3}=0\,,$$ откуда $\;\vec{m}=-\vec{H}_0a^3/2\,,\;b=-a^3/2$— магнитная поляризуемость шара при сильном скин-эффекте. Значит, $$\vec{H}(R=a)=-\frac{3}{2}H_0\,\sin\theta\;\vec{n}_{\theta}\,,$$ где $\,\vec{n}_{\theta}$ — единичный вектор, соответствующий углу $\,\theta$ в сферической системе координат ($R,\;\theta,\;\alpha$). Нахождение истинного распределения поля в поверхностном слое шара можно упростить, рассматривая небольшие участки поверхности как плоские с известным значением поля на поверхности. Тогда (см. задачу 6.76) $$\vec{H}=-\frac{3}{2}H_0\,\sin\theta\; e^{\textstyle-\frac{h}{\delta}}\; e^{\textstyle-i(\omega\,t-\frac{h}{\delta})}\; \vec{n}_{\theta}\,,$$ $$H_R=H_{\alpha}=0\,,$$ где $\;\delta=c/\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega}$, a $\,h$ отсчитывается от поверхности по нормали вглубь шара. Среднюю поглощаемую шаром энергию можно найти как среднее количество энергии поля, втекающей извне внутрь проводника в единицу времени, т. е. интеграл от среднего по времени вектора Пойнтинга $\,\vec{S}$, взятый по поверхности шара: $$\overline{W\,}=\int(\overline{\vec{S}\,}\,d\vec{s})= \frac{c}{4\pi}\int\Big(\overline{[\vec{E}\times \vec{H}]} \cdot\,d\vec{s}\Big).$$ Из уравнения $\text{rot}\vec{H}=4\pi\sigma\,\vec{E}/c$ найдем $$\vec{E}=\frac{c\,(1-i)}{4\pi\,\sigma\,\delta} [\vec{H}\,\times \vec{n}],$$ где $\,\vec{n}$ — единичный вектор, перпендикулярный поверхности и
направленный внутрь шара.

Найдем средний вектор Пойнтинга на поверхности шара: $$\overline{\vec{S}\,}=\frac{c}{4\pi} \overline{[\vec{E}\,\times\vec{H}]}=\frac{c}{8\pi} {\cal R}e\,[\vec{E}\,\times\vec{H}^{\ast}]=$$ $$=\frac{c}{32\pi^2\,\sigma\,\delta} {\cal R}e\,\Bigg(\,(1-i)\,\bigg[[\vec{H}\,\times \vec{n}]\, \times\vec{H}^{\star}\bigg]\Bigg)=\frac{9}{128}\; \frac{c^2\,H_0^2\,\sin^2\theta}{\pi^2\,\sigma\,\delta}\;\vec{n}\,.$$ Интегрируя $\overline{\vec{S}\,}$ по поверхности, окончательно получаем $$\overline{P\,}=\int \limits_0^{\pi}\overline{S\,}2\pi\,a^2 \,\sin\theta\,d\theta=\frac{3}{8}\,H_0^2a^2c\,\sqrt{ \frac{\mu\,\omega}{2\pi \,\sigma}\,} \qquad\mbox{при} \qquad \delta \ll a\,.$$

Таким образом, диссипация энергии при больших частотах
пропорциональна $\;\sqrt{\omega}$.