4.13. Вертикальный провод с током $J$ оканчивается в земле с проводимостью $\sigma $ полусферическим заземлителем радиуса $a.$ Считая проводимость $\sigma = \text{const}$ и предполагая, что второй электрод находится на расстоянии, много большем $a,$ найти магнитное поле в земле и в воздухе.

Из симметрии задачи следует, что $H_r = H_z = 0$ всюду. Воспользуемся интегральной формой уравнения Максвелла \[ \oint{H_l dl}=\frac{4\pi}{c}\iint j_n dS. \] В первой среде, где есть только вертикальный провод с током, в цилиндрической системе координат: $$H_\alpha \cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} J$$ так, что $$H_\alpha = \frac{{2J}}{{cr}}.$$

При растекании тока в земле из симметрии считаем, что ток течёт равномерно во все стороны, тогда в телесный угол $\Omega = 2\pi (1-\cos \theta)$, где угол $\theta$ меняется в пределах от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, втекает ток: $$J_{\theta}=J (1-\cos \theta), $$ следовательно магнитное поле в сферической системе координат: $$ H_\alpha = \frac{{2J(1-\cos \theta)}}{{cr\sin \theta}}. $$