6.1. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами $a<b$, пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью $\mu$. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины линии.

Магнитное поле в такой аксиально-симметричной системе имеет единственную компоненту \(H_\alpha\). Используя теорему Стокса, можно показать, что \[ \begin{split} H_\alpha &= 0 \;\;\text{при}\;\; r \le a,\\ H_\alpha &= \frac{{2\pi I}}{cr}\;\;\text{при}\;\; a \le r \le b,\\ H_\alpha &= 0\;\;\text{при}\;\; r > b. \end{split} \] \[ B_\alpha = \mu H_\alpha \] Тогда энергия в зазоре между коаксиальными цилиндрами, в котором поле не равно нулю, на единицу длины цилиндра равна \[ W = \int{\frac{{\left( {\vec B\vec H} \right)dV}}{{8\pi }}} = \frac{{2\pi }}{{8\pi }}\mu \int\limits_a^b {rdr\frac{{4I^2 }}{{c^2 r^2 }}} = \mu \frac{{I^2 }}{{c^2 }}\int\limits_a^b {\frac{{dr}}{r}} = \mu \frac{{I^2 }}{{c^2 }}\ln \frac{b}{a} \] Откуда \[ W = \frac{{LI^2 }}{{2c^2 }} = \mu \frac{{I^2 }}{{c^2 }}\ln \frac{b}{a}, \] \[ L = 2\mu \ln \frac{b}{a}. \]