2.40. Найти плотность $\sigma_\text{связ}$ связанных поверхностных зарядов, наведенных на плоской границе раздела двух однородных диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$, точечным зарядом $q$, находящийся на расстоянии $a$ над этой границей (заряд в диэлектрике с $\varepsilon_1$). Какой результат получится при $\varepsilon_2\rightarrow\infty$, каков его физический смысл?

На границе раздела нет свободных зарядов, поэтому плотность связанных зарядов пропорциональна скачку нормальной составляющей поля \(E\). \[ \sigma_\text{связ} =\frac{E_{2n} - E_{1n}}{4\pi}. \] \[ E_{1n}=\frac{q}{\varepsilon _1}\left[\left(\frac{{\vec r_1}}{{r_1^3 }}\right)_n +\frac{{\varepsilon _1 - \varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\left(\frac{{\vec r_2}}{{r_2^3 }}\right)_n\right]=\frac{q}{\varepsilon _1}\frac{h}{{\left( {h^2 + R^2 } \right)^{3/2}}}\frac{2\varepsilon _2 }{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 } \] \[ E_{2n} = \frac{{q''}}{{\varepsilon _2 }}\left( {\frac{{\vec r_1}}{{r_1^3 }}} \right)_n = \frac{{q}}{{\varepsilon _2 }}\frac{h}{{\left( {h^2 + R^2 } \right)^{3/2}}} \frac{2\varepsilon _2 }{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 } \] Тогда \[\sigma _\text{связ} = \frac{q}{{\varepsilon _1}}\frac{{\varepsilon _1 - \varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{h}{{2\pi \left(h^2+R^2\right)^{3/2} }},\] при $\varepsilon _2 \to \infty $, \[\sigma _\text{связ} = - \frac{{q h}}{{2\pi \varepsilon_1 \left(h^2+R^3\right)^{3/2} }}.\]