2.39. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $h$ от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ (заряд находится в диэлектрике с $\varepsilon_1$). Найти потенциал электрического поля.

Поле в первом диэлектрике $\vec{E}_1$ будет создаваться зарядом $q$ и поляризационными зарядами, которые возникнут на границе раздела диэлектриков. По методу изображения попытаемся подобрать величину заряда $q'$ такой, чтобы поле от него в первом диэлектрике было эквивалентно полю поляризационных зарядов, когда $q'$ находится в точке $O'$, зеркально симметричной с точкой $O$ относительно границы раздела в среде с проницаемостью \(\varepsilon_1\), т.е. \[\vec{E}_1=\frac{q\,\vec{r}}{\varepsilon_1r^3}+ \frac{q'\;\vec{r}'} {\varepsilon_1r'\;^3}\,, \] где $\vec{r}$ и $\vec{r}'$ – радиус-векторы, проведенные из зарядов $q$ и $q'$ в рассматриваемую точку.

Поле во втором диэлектрике $\vec{E}_2$ будем искать как поле фиктивного заряда $q''$, находящегося в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon_2$, но пространственно совмещенного с зарядом $q$, т.е. $$\vec{E}_2=\frac{q''\,\vec{r}} {\varepsilon_2r^3}\,.$$

Каждое из этих полей является решением уравнения Лапласа, и если нам удастся удовлетворить граничным условиям, то $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ в силу теоремы единственности будут описывать действительное поле.

Из условия непрерывности на границе раздела двух диэлектриков нормальных компонент $D_n$ вектора $\vec{D}$ и касательных компонент $E_{\tau}$ вектора $\vec{E}$: $$q\cos\theta-q'\cos\theta= q''\cos\theta\,,$$ $$\frac{q}{\varepsilon_1}\sin\theta+\frac{q'} {\varepsilon_1}\sin\theta= \frac{q''}{\varepsilon_2}\sin\theta\,.$$ Из этой системы уравнений находим $$q'=-\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1} {\varepsilon_2+\varepsilon_1}q\,,\;\;\;\; q''=\frac{2\varepsilon_2} {\varepsilon_2+\varepsilon_1}q\,.$$ Поскольку угол $\theta$ выпадает из уравнений, граничные условия будут удовлетворены во всех точках границы раздела и полученные поля $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ являются решением задачи. Откуда для потенциалов получаем \[ \begin{split} \varphi _1 & = \frac{q}{{\varepsilon _1 r_1 }} + \frac{1}{{\varepsilon _1 }}q\frac{{\varepsilon _1 - \varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{1}{{r_2 }},\\ \varphi _2 & = \frac{1}{{\varepsilon _2 }}q\frac{{2\varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{1}{{r_1 }}. \end{split} \]