3.24. В бесконечной среде с проводимостью $\sigma$, где шел ток с плотностью $\vec{j}_0$, всюду одинаковой, возникла сферическая полость радиуса $R$ (внутри полости $\sigma=0$). Найти результирующее распределение токов $\vec{j}(\vec{r})$.

Распределение постоянных токов в проводящей среде описывается уравнением $\text{div} \vec{j}(\vec{R})=0$, где $\vec{j}(\vec{R})$ — объемная плотность тока. Так как $\vec{j}=\sigma\vec{E}$ и $\vec{E}=-\text{grad} \varphi$, то для распределения потенциала получается уравнение \begin{equation} \Delta\varphi=0 \end{equation} с граничными условиями на поверхности сферической полости: \begin{equation} \varphi_1(a)\!=\!\varphi_2(a);\; j_{1R}\Big |_{R=a}\!=\!j_{2R}\Big |_{R=a} \;\mbox{или}\; \sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg |_{R=a}\!=\! \sigma_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg |_{R=a}. \end{equation}

Уравнение Лапласа и граничные условия аналогичны таковым для электрической задачи 2.8 a): диэлектрический шар с проницаемостью $\,\varepsilon_1$ погружен в неограниченный диэлектрик с проницаемостью $\,\varepsilon_2$, если $\,\varepsilon_1$ заменить на $\,\sigma_1$, а $\,\varepsilon_2$ на $\,\sigma_2$. Используем решение этой задачи положив $\,\sigma_1=0$, $\,\sigma_2=\sigma$, получим для распределения потенциала и напряженности электрического поля следующие выражения: $$\varphi=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{3}{2}E_0z\, & \mbox{при}\;R\leq a, \\ -E_0z-\displaystyle\frac{(\vec{E}_0\vec{R})a^3\,}{2R^3}\; & \mbox{при}\;R\geq a, \end{array}\right.$$ $$\vec{E}=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{3}{2}\vec{E}_0\; & \mbox{при}\;R<a, \\ \vec{E}_0+ \displaystyle\frac{a^3\,\vec{E}_0}{2R^3}- \displaystyle\frac{3a^3(\vec{E}_0\vec{R})\vec{R}}{2R^5}\; & \mbox{при}\;R> a, \end{array}\right.$$ где $\,\vec{E}_0=\vec{j}_0/\sigma$ – напряженность электрическога поля вдали от полости. Поскольку $\,\vec{j}=\sigma\vec{E}$ , то распределение тока $$\vec{j}=\left\{ \begin{array}{ll} \vec{j}_0\biggl(1+\displaystyle\frac{a^3}{2R^3}\biggr)- \displaystyle\frac{3a^3\,(\vec{j}_0\vec{R})\vec{R}}{2R^5}\;& \mbox{при}\;R> a, \\ 0 \qquad & \mbox{при}\;R< a. \end{array}\right.$$