3.5. Пространство между бесконечно длинными коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов $a,b$ заполнено веществом с проводимостью $\sigma(r)=\alpha r^n$. Найти распределение потенциала в пространстве между цилиндрами и сопротивление на единицу длины. Потенциалы цилиндров: $U(a)=0,$ $U(b)=U_0$.

Так как мы рассматриваем установившееся состояние, когда заряды уже нигде не накапливаются, то $ \text{div}\vec j = 0. Следовательно: $ \[ \text{div}\left( {\sigma \vec E} \right) = - \left( {\nabla ,\sigma \nabla \varphi } \right) = 0, \] тогда \[ \sigma \Delta \varphi + \left( {\nabla \sigma ,\nabla \varphi } \right) = 0. \] В цилиндрической системе координат из–за симметрии задачи зависимость будет только от $r$, тогда \[ \alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0, \] тогда \[ r \frac{d}{dr} \left( \frac{d \varphi }{dr}\right) + \left( {n + 1} \right) \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0. \] Интегрируя придём к \[ \frac{d \varphi }{dr} = Ar^{-(n+1)}. \] Интегрируя ещё раз $$ \varphi = A'r^k +C. $$ С учётом граничный условий \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\) придём к выражению \[ \varphi \left( r \right) = V\frac{\left( \frac br\right)^n - 1}{\left( \frac ba\right)^n - 1}. \] Ток на единицу длины вдоль \(z\) \[ I = 2\pi rj = - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi = 2\pi V\frac{\alpha b^n }{\left(\frac ba\right)^n - 1} = \frac{V}{R}, \] так, что \[ R = \frac{\left(\frac ba\right)^n - 1}{2\pi \sigma _{\max } }. \]