1.33. У тонкой двояковыпуклой линзы серебрится одна из поверхностей с радиусом кривизны $R_2.$ Радиус чистой поверхности $R_1.$ Найти фокусное расстояние полученного таким образом зеркала, если показатель преломления стекла линзы $n.$

Для нахождения фокусного расстояния системы найдём матрицу преобразования описывающую отражение в сферическом зеркале. Если угол распространения луча к оси составляет $\theta_{1},$ то угол падения к нормали поверхности будет — $\theta_{1}-\theta$, где $\text{tg}\theta=\frac{x}{R}$, $x$ — высота луча от оси, а $R$ — радиус кривизны. После отражения угол к нормали $\beta=\theta_{2}+\theta$ так, что $$\theta_{2}=\theta_{1}-2\theta\approx\theta_{1}-\frac{2x}{R},$$ а матрица преобразования $$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{2}{R} & 1 \end{array}\right). $$

Найдём теперь фокусное расстояние системы с посеребренной линзой. Сначала луч проходит из среды с $n=1$ в линзу с $n\neq1$ матрица преобразования: $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \end{array}\right), $$ затем отражение $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{2}{R_{2}} & 1 \end{array}\right) $$ и окончательно выход из линзы: $$ \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n-1}{-R_{1}} & n \end{array}\right), $$ знак у радиуса отрицательный, т.к. направление отсчитывается по направлению распространения луча, а после отражения оно изменило знак.

Перемножим:

$$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n-1}{-R_{1}} & n \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{2}{R_{2}} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \left(\frac{n-1}{-R_{1}}\right)-\frac{2n}{R_{2}} & n \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \end{array}\right)= $$ $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \left(\frac{n-1}{-R_{1}}\right)-\frac{2n}{R_{2}}+\frac{1-n}{R_{1}} & 1 \end{array}\right), $$ таким образом фокусное расстояние $$\frac{1}{F}=2\frac{n-1}{R_{1}}+\frac{2n}{R_{2}}$$ так, что $$F=\frac{1}{2}\cdot\frac{R_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)R_{2}+nR_{1}}.$$