6.42. Круглая проволочная петля радиуса $a$, находящаяся в постоянном магнитном поле $H_0$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своего диаметра, перпендикулярного $\vec{H}_0$. Найти силу тока в петле, тормозящий момент и среднюю мощность, которая требуется для поддержания вращения. Сопротивление петли — $R$, индуктивность — $L$.

Эдс, которая возникает во вращающейся рамке, согласно закону Фарадея равна \[ {\mathcal E} = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = - \frac{1}{c}H_0 \frac{{dS}}{{dt}} = - \frac{1}{c}H_0 \pi a^2 \frac{d}{{dt}}\cos \omega t=\frac{H_0 \pi a^2 \omega}{c}\sin \omega t. \] Закон Кирхгофа для замкнутого контура (кольцо обладает активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$) записывается в виде

\[ {\mathcal E} = \frac{{L\dot I}}{{c^2 }} + IR, \] или \[ \frac{L}{c^2}\dot I + RI = \mathcal E= {\mathcal E}_0 \sin \omega t, \] где \[{\mathcal E}_0=\frac{H_0 \pi a^2 \omega}{c}.\] При решении подобных линейных дифференциальных уравнений можно для простоты заменить \(\sin \omega t\) на экспоненту, потом в ответе взять мнимую часть. \[ \frac{L}{c^2}\dot I + RI = {\mathcal E}_0 e^{i\omega t}. \] Будем искать стационарное решение в виде \[ I = I_1 \cdot e^{i\omega t}. \] Подставив это решение в исходное уравнение получим комплексную амплитуду тока \[ I_1 \left( {R + \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right) = {\mathcal E}_0, \] или \[ I_1 = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{R + \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}}}. \] Для нахождения действительной и мнимой частей домножим числитель и знаменатель на комплексносопряженное выражение, и тогда комплексную амплитуду тока можно представить в тригонометрической форме \[ I_1 = \frac{{{\mathcal E}_0 \left( {R - \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right)}}{{\left( {R + \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right)\left( {R - \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right)}} = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^2 }}}}\left( {R - \frac{{i\omega L}}{{c^2 }}} \right) = = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{\sqrt {R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^4 }}} }}e^{i\varphi }, \] где \[ {\mathop{\rm tg}\nolimits} \varphi = \frac{{\omega L}}{{c^2 R}}, \] а, следовательно, \[ I = \frac{{{\mathcal E}_0 }}{{\sqrt {R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^4 }}} }}e^{i\omega t - i\varphi }. \] Выделяя, как было упомянуто выше, мнимую часть, получим \[ I = \frac{{\pi a^2 \omega H_0 }}{c{\sqrt {R^2 + \frac{{\omega ^2 L^2 }}{{c^4 }}} }}\sin \left( {\omega t - \varphi } \right)=I_0 \sin \left( {\omega t - \varphi } \right). \] Для вращения кольца с постоянной скоростью необходимо прикладывать момент сил, равный мгновенному значению тормозящего момента. Для вычисления момента сил, действующего на виток с током в однородном магнитном поле рассмотрим (следуя Сивухину Д.В., Общий курс физики. Электричество, том III, стр.209.) плоский виток с током, лежащий в плоскости магнитного поля. Легко показать, что момент сил, действующий на виток площади \(S\) по которому течет ток \(I\), равен \[ \vec N=\left[\vec M \times \vec H\right],\;\;\;\text{где}\;\;\; \vec M =\frac{I}{c}\vec S. \] Еще проще показать, что если этот виток с током перпендикулярен магнитному полю, то момент равен нулю. Поскольку при любом положении плоскости витка по отношению к магнитному полю можно разложить магнитное поле на перпендикулярную (не дающую вклада в момент) и параллельную составляющую магнитного поля, то очевидно, что приведенная выше формула справедлива при любой ориентации плоскости витка и однородного магнитного поля. Используя это выражение для нашей задачи можно записать \[ N=\frac{\pi a^2}{c} I H_0\sin\alpha, \] где \(\alpha\) — угол между направлением \(\vec H\) и нормалью к плоскости витка, \(\alpha=\omega t\). В итоге получаем \[ N=\frac{\pi a^2}{c} I_0 H_0\left(\cos\varphi-\cos(2\omega t-\varphi)\right). \] Средняя мощность, выделяемая в проводнике (джоулево тепло) определяется соотношением \[ \overline W=\overline{I^2 R}=\frac{1}{2}I_0^2 R. \]