3.53. Найти радиус $r_m$ для $m$–й зоны Френеля. Чему он будет равен, если падающая волна плоская? Доказать, что площади зон Френеля равны. Найти вклад в амплитуду колебания в точке B от $m$-й зоны Френеля.

Запишем интеграл Кирхгофа:

$$E_{B}=\frac{k}{2\pi i}\int E_{C}\frac{e^{ikr}}{r}\vec{n}\,d\vec{S}=\frac{1}{i\lambda}\int E_{C}\frac{e^{ikr}}{r}\cos\psi\,dS$$

где $\vec{n}$ — направление на точку $B$ в точке распространения вторичной волны площадью $dS$, а угол $\psi$ — угол между нормалью к фронту первичной волны и направлением на точку $B.$

Если волна от точечного источника проходит через круглое отверстие, то точки этого отверстия будут источниками вторичных волн, так что распространение от точечного источника $A$ до $B$ разобьётся на два участка: от $A$ до поверхности $C$ и от $C$ до точки $B.$ Что бы найти поле в точке $B$ — проинтегрируем вклад от всех точек поверхности $C$.

Тогда интеграл становится следующим

\[ E_{B}=\frac{kE_{A}}{2\pi i}\int\frac{e^{ika}}{a}\frac{e^{ikR}}{R}\cos\psi\,dS=\frac{kE_{A}}{2\pi i}{\displaystyle \intop_{0}^{r_{0}}}\frac{e^{ik\left(a+R\right)}}{aR}\cos\psi\,2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta, \]

где использовано, что $$ E_C=E_A\frac{e^{ika}}{a}. $$

По теореме косинусов найдём расстояние $$R^{2}=a^{2}+\left(a+b\right)^{2}-2a\left(a+b\right)\cos\theta.$$

Дифференциал этого выражения: $2R\,dR=2a\left(a+b\right)\sin\theta\,d\theta$, тогда в интеграле произведём замену переменных для интегрирования

\[ E_{B}=\frac{kE_{A}}{i}{\displaystyle \intop_{b}^{R_{0}}}e^{ik\left(a+R\right)}\frac{\cos\psi}{a+b}\,dR \]

Если $R-b=\Delta\ll b,$ то значения $\cos\psi\approx1$, тогда

$$E_{B}\approx\frac{kE_{A}}{i\left(a+b\right)}{\displaystyle e^{ik\left(a+b\right)}\intop_{0}^{\Delta}}e^{ikR}\,dR=$$ $$\frac{E_{A}}{\left(a+b\right)}e^{ik\left(a+b\right)}{\displaystyle \left(1-e^{ik\Delta}\right)}= E_0{\displaystyle \left(1-e^{ik\Delta}\right)}.$$

Таким образом амплитуда меняется от нуля при $\Delta=m\lambda$ до удвоенного значения $$E_0=\frac{E_{A}}{\left(a+b\right)}e^{ik\left(a+b\right)}$$ при $\Delta=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$. Где $E_0$ — поле в точке $B$ от источника $A$, если открыто всё пространство между этими точками.

Найдём теперь, радиусы зон Френеля. С одной стороны: $$r^{2}=a^{2}-\left(a-h\right)^{2}=2ah-h^{2}\approx2ah,$$ с другой $$r^{2}=R^{2}-\left(b+h\right)^{2}=\left(b+\Delta\right)^{2}-\left(b+h\right)^{2}=$$ $$2b\left(\Delta-h\right)+\Delta^{2}-h^{2}\approx2b\left(\Delta-h\right)$$ приравнивая найдём, что $h=\frac{b}{a+b}\Delta$, тогда $$r^{2}=\frac{2ab}{a+b}\Delta .$$

Положив $\Delta=\frac{\lambda}{2}m,$ занумеруем радиусы зоны Френеля $$r_{m}=\sqrt{\frac{ab\lambda m}{a+b}}=r_1\sqrt{m}.$$

Тогда при открытых радиусах до нечётных зон — будут максимумы. а при открытых до чётных зон — минимумы.

Чему будет равен радиус зоны Френеля, если падающая волна плоская?

Переход к плоской волне получится при $a\to \infty$, т.е. $$r_{m}=\sqrt{b\lambda m}=r_1\sqrt{m}.$$

Покажем теперь, что площади зон Френеля равны. $$S=\int ds=2\pi\int \limits _0 ^{\theta_0} a^{2}\sin\theta\,d\theta= 2\pi a^{2}(1-\cos\theta), $$

с учётом, $$\frac{r}{a}=\sqrt{\frac{2b\Delta}{a\left(a+b\right)}}=\sin\theta\approx\theta$$ получим, что $$ S\approx2\pi a^{2} \left( 1-(1-\frac 12\theta^{2})\right)=\frac{2\pi ab}{a+b}\Delta .$$

Тогда площадь одной $m$–той зоны $$ \Delta S_m=S_m-S_{m-1}=\frac{\pi ab\lambda m}{a+b}-\frac{\pi ab\lambda (m-1)}{a+b}=\frac{\pi ab\lambda }{a+b}=S_1. $$ Действительно, не зависит от номера зоны.

Тогда вклад каждой зоны одинаков — нечётных зон — с плюсом, а чётных зон — с минусом.

Но это до тех пор пока верно использованное ранее приближение $\cos \psi \approx 1$, в том случае, когда $\Delta \ll b$.

В противном случае — надо учесть этот множитель. С учётом того, что пределах одной зоны угол $\psi $ практически не меняется, можно записать: $$E_{B}=\frac{kE_{A}}{i\left(a+b\right)}{\displaystyle e^{ik\left(a+b\right)}\intop_{0}^{\Delta}} \cos \psi e^{ikR}\,dR\approx $$ $$ 2 E_0 \sum_{m=1}^{N} (-1)^{m-1} \cos \psi _m. $$