5.41. а) Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом $e,$ пролетающей на прицельном расстоянии $\rho $ без изменения траектории в следующих полях: а) ядра $Ze.$ Получить ограничения на параметры неискривляющейся траектории. Найти нерелятивистский предел.

С учётом решения задачи 5.24 полные потери на излучение при пролете релятивистской частицы в электромагнитном поле

$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$

Поскольку в данном варианте в лабораторной системе магнитное поле отсутствует, то формулу потерь можно переписать в виде

$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\vec{E}^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{E_{\bot}^{2}+\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)E_{\Vert}^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$

Поскольку по условию задачи траектория частицы остается неизменной, т.е. частица движется по прямой с прицельным параметром $\rho,$ то при нахождении частицы на расстоянии $x$ от точки с минимальным расстоянием:

$$E_{\Vert}=\frac{Zex}{\left(x^{2}+\rho^{2}\right)^{\frac{3}{2}}},$$

$$E_{\bot}=\frac{Ze\rho}{\left(x^{2}+\rho^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}.$$

Заменой в интеграле $dt=\frac{dx}{v}$ (считая что скорость частицы не меняется и равна $v$) перейдём к интегралу:

$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{E_{\bot}^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+E_{\Vert}^{2}dt=\frac{2Z^{2}e^{6}}{3vm^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\gamma^{2}\rho^{2}+x^{2}}{\left(x^{2}+\rho^{2}\right)^{3}}dx.$$

С учётом интегралов:

$$\left.\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}dx\right|_{x=tg\phi}=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}\phi d\phi=\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos2\phi\right)^{2}d\phi=\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+2\cos2\phi+\cos^{2}2\phi\right)d\phi=$$

$$\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+2\cos2\phi\right)d\phi+\frac{1}{8}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos4\phi\right)d\phi=$$

$$\left.\frac{1}{4}\left(\phi+\sin2\phi\right)+\frac{1}{8}\left(\phi+\frac{1}{4}\sin4\phi\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{3\pi}{8}$$

$$\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}dx=\frac{1}{2}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}dx^{2}=-\frac{1}{4}\intop_{-\infty}^{\infty}xd\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=$$

$$-\frac{1}{4}\left.\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{4}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=$$

$$\left.\frac{1}{4}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx\right|_{x=tg\phi}=\frac{1}{4}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\phi d\phi=$$

$$\frac{1}{8}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\cos2\phi d\phi=\left.\frac{1}{8}\left(\phi+\frac{1}{2}\sin2\phi\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{8}$$

В итоге:

$$\Delta W=\frac{2Z^{2}e^{6}}{3vm^{2}c^{3}\rho^{3}}\left(\frac{3\pi}{8}\gamma^{2}+\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi Z^{2}e^{6}}{12vm^{2}c^{3}\rho^{3}}\left(3\gamma^{2}+1\right).$$