1.28. Найти силу и вращательный момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$ в поле точечного заряда $q$.

Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда $q$, является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны заряда $q$: \begin{equation} (1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}), \end{equation} где $\vec{E_1}$ — напряженность электрического поля, создаваемая зарядом $q$ в точке нахождения отрицательного заряда диполя ($-Q$); $\vec{E_2}$ — в точке нахождения положительного заряда диполя. Если расстояние между зарядами диполя мало по сравнению с расстоянием, на котором находится диполь от заряда, то поле $\vec{E_2}$ можно разложить в ряд Тейлора и оставить в нем два первых отличных от нуля члена $$ \vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$ $$\vec{E}(\vec{R})+ \ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\; \ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\; \ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z} =$$ $$ \vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,{\nabla})\vec{E}, $$ где $(\vec{\ell}\,{\nabla})$ — скалярное произведение вектора $\vec{\ell}$ и вектора ${\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial} {\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+ \vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$. Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и учитывая, что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, $\vec{E}=\frac{Q}{R^3}\vec{R}$, находим выражение для силы, действующей на диполь со стороны точечного заряда: \begin{equation} (2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}= q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\; P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\; P_z\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\,\frac{\vec{R}}{R^3}. \end{equation} Так как $$P_x\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\vec{R}} {R^3}\biggr)=P_x\biggl(\frac{1}{R^3}\frac{\partial\vec{R}} {\partial x}+\vec{R}\frac{\partial}{\partial x}\Bigl( \frac{1}{R^3}\Bigr)\biggr)= P_x\biggl(\frac{\vec{i}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}x\biggr)\;,$$ то аналогично $$P_y\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\vec{R}} {R^3}\biggr)= P_y\biggl(\frac{\vec{j}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}y\biggr)\;,\;\; P_z\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\vec{R}} {R^3}\biggr)= P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$ где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — единичные векторы в направлениях соответственно $X$, $Y$, $Z$. Подставляя вычисленные соотношения в уравнение (2), получаем

Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, действующей на заряд в поле диполя. Поэтому формулу (3) можно получить и из предыдущей задачи 1.27 по полю диполя: $$ \vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+ \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}. $$

Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$, равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту формулу поле точечного заряда
$\vec{E}=q\frac{\vec R}{R^3}$, получаем

где $\vec{R}$ — радиус–вектор, проведенный из точки нахождения точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь.

С другой стороны момент можно подсчитать и непосредственно, воспользовавшись формулой: $$ \vec{N}=\sum \limits _{i}[\vec{r}_{i}\times\vec{F_{i}}], $$ где $\vec{r}_{i}$ — радиус векторы приложенных сил рассмотрим относительно некоторой точки на оси соединяющей заряды диполя — $\vec r_1 = \vec b, \vec r_2 = \vec a+\vec b$, тогда: $$ \vec{N}=[\vec{b}\times\vec{F}_{-e}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{F}_{+e}]=\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{R}+\vec{a})]= $$ $$ \frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\approx $$ $$ \frac{eq}{R^{3}}\left(-[\vec{b}\times\vec{R}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\right)=\frac{eq}{R^{3}}[\vec{a}\times\vec{R}]=\frac{q}{R^{3}}[\vec{P}\times\vec{R}]. $$