2.13. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок $a$ и $b$ диэлектрическая проницаемость меняется по закону \[ \varepsilon \left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon _1, \mbox{ при } a \le r < c \\ \varepsilon _2, \mbox{ при } c \le r \le b \\ \end{array} \right., \] где $a<c<b$. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов $\sigma_\text{связ}$ и полный связанный заряд в диэлектрике.

Предложенную систему можно представить в виде двух последовательно соединенных сферических конденсаторов. Полная ёмкость которых определяется соотношением \[ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_{a-c}}+\frac{1}{C_{c-b}}. \] Для нахождения емкости одного сферического конденсатора рассмотрим 2 вложенные одну в другую концентрические сферы с радиусами \(R_1\) и \(R_2\), \((R_1<R_2)\). Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Предположим, что вектор электростатической индукции \(\vec D\) в шаровом слое между обкладками имеет только радиальную компоненту (в силу сферической симметрии задачи), и она выражается в виде \[ D=\frac{aQ_1}{r^2}, \] где \(Q_1\)– заряд внутренней обкладки. Граничное условие на границе радиуса \(R_1\) можно рассматривать как следствие теоремы Гаусса. \[ D_{1n}=D|_{r=R_1}=4\pi\sigma=\frac{Q_1}{R_1^2}, \] откуда следует \(a=1\). Таким образом, в зазоре между сферическими поверхностями \[ D=\frac{Q_1}{r^2},\;\;E=\frac{Q_1}{\varepsilon r^2}. \] Разность потенциалов между обкладками равна \[ \Delta \varphi=\int\limits_{R_1}^{R_2} E d r=\frac{Q_1}{\varepsilon} \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{ d r}{r^2}=\frac{Q_1}{\varepsilon}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right). \] Таким образом, емкость сферического конденсатора \[ C=\frac{Q_1}{\Delta \varphi}=\frac{\varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}. \] Откуда получаем емкость 2-х последовательно соединенных конденсаторов \[ C = \left[ {\frac{1}{{\varepsilon _1 }}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{\varepsilon _2 }}\left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{b}} \right)} \right]^{ - 1}. \] Распределение связанных зарядов получается из описанного выше решения с учетом того, что \(D=\frac{Q_1}{r^2}\) во всем пространстве между обкладками, а электрическое поле в области \(a< r< c E=D/\varepsilon_1\), а в области \(с< r< и E=D/\varepsilon_2\). Тогда \[ \begin{split} \sigma_\text{связ} \left( a \right)& =\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=-\frac{Q_1}{{4\pi a^2 }}\left( {1- \frac{1}{{\varepsilon _1 }}} \right),\\ \sigma_\text{связ} \left(c \right)& =\frac{E_{c+}-E_{c-}}{4\pi}=\frac{Q_1}{{4\pi c^2 }}\left( {\frac{1}{{\varepsilon _2 }} - \frac{1}{{\varepsilon _1 }}} \right),\\ \sigma _\text{связ} \left( b \right) &=\frac{Q_1}{{4\pi b^2 }}\left( {1 - \frac{1}{{\varepsilon _2 }}} \right). \end{split} \] где $Q_1$ – заряд внутренней обкладки.