2.51. Электрический диполь с моментом $\vec{p}$ находится в однородном диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия диполя с индуцированными зарядами, силу и вращательный момент, приложенные к диполю. Расстояние $a$, проницаемость диэлектрика $\varepsilon$.

В задаче 1.29 мы выяснили, что если диполь «жесткий», то его энергия \[ U = - \left( {\vec p\vec E} \right), \] «жёсткость» в данном случае означает, что вектора \(\vec p\) и \(\vec E\) независимы. В нашем случае \(p \sim E\), следовательно — это «квазиупругий» диполь, тогда \[ U = - \frac 12 \left( {\vec p\vec E} \right). \] Если посмотреть на изображение диполя и представить его в виде двух разноимённых зарядов, то нормальная (по отношению к границе) составляющая диполя изображения будет совпадать c самим диполем, а тангенциальная — поменяет направление. Тогда воспользовавшись решением задачи 2.50 с учётом \[ r = 2a, \hspace{7pt} \theta _1 = \theta, \hspace{7pt} \theta _2=-\theta : \] $$ U = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\vec p_2 \vec p_1 }}{{r^3 \varepsilon }} - \frac{{3\left( {\vec p_2 \vec r} \right)\left( {\vec p_1 \vec r} \right)}}{{r^5 \varepsilon }}} \right) = \frac{1}{2}\left( \frac{{p^2 \cos 2 \theta }}{{r^3 \varepsilon }} - \frac{{3p^2 r^2 \cos ^2 \theta }}{{r^5 \varepsilon }}\right) = $$ $$ = \frac{{p^2 }}{{2 r^3 \varepsilon }}\left( {\cos 2\theta - 3\cos ^2 \theta } \right) = - \frac{{p^2 }}{{16a^3 \varepsilon }}\left( {1 + \cos ^2 \theta } \right) . $$ Сила: $$ F_z = -\frac{\partial U}{\partial a} = \frac{{3U}}{a}$$ и вращательный момент $$N_\theta = -\frac{\partial U}{\partial \theta } = - \frac{{p^2 \sin 2\theta }}{{16\varepsilon a^3 }}.$$