3.9. Найти стационарное поле $E$ в плоском конденсаторе с напряжением $U$, диэлектрик которого состоит из двух слоев толщины $\ell_1, \ell_2$ с диэлектрическими постоянными $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ и проводимостями $\sigma_1, \sigma_2$. Определить свободный и связанный заряды на границе раздела сред.

Есть ток утечки \(\sigma _1 E_1 = \sigma _2 E_2\). \(l_1 E_1 + l_2 E_2 = V\) — полное падение напряжения. \[ E_{1,2} = \frac{{\sigma _{2,1} V}}{{l_1 \sigma _2 + l_2 \sigma _1 }} \] Обратите внимание, что \(1,2 \to 2,1\). На границе между слоями свободный заряд. \[ S\left( {D_{2n} - D_{1n} } \right) = 4\pi \sigma _{\text{своб}}, \] откуда \[ \sigma_{\text{своб}} = \frac{{V\left( {\sigma _1 \varepsilon _2 - \sigma _2 \varepsilon _1 } \right)}}{{4\pi \left( {l_1 \sigma _2 + l_2 \sigma _1 } \right)}} \] \[ \sigma _{\text{связ}} = \sigma ' = \frac{1}{{4\pi }}\left[ {\left( {D_{2n} - E_{2n} } \right) - \left( {D_{1n} - E_{1n} } \right)} \right] \] Это все следует из \[ j_{1n} = j_{2n} \] \[ \sigma _1 E_{n1} = \sigma _2 E_{n2} \] \[ D_{n2} - D_{n1} \ne 0 = D_{n1} \left( {\frac{{\sigma _1 }}{{\sigma _2 }}\frac{{\varepsilon _2 }}{{\varepsilon _1 }} - 1} \right) \] К положительно заряженной обкладке конденсатора прилегает первый слой.