4.31. Оценить энергию излучения электрона, пролетающего на большом расстоянии от тяжелого ядра с зарядом $Ze$ ($v \ll c$).

Будем считать, что энергия излучения много меньше кинетической энергии электрона и он практически не отклонится от прямолинейного движения. Тогда

$$I=\frac{dW}{dt}=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\left(\frac{Ze^{2}}{mr^{2}}\right)^{2}.$$

Проинтегрируем излучение при всём движении электрона $$ W=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{r^{4}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\intop\frac{dt}{\left(\rho^{2}+v^{2}t^{2}\right)^{2}}=\frac{2e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}}\cdot\frac{1}{\rho^{3}v}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}.$$

Для взятия интеграла произведём замену $\xi=\text{tg}\alpha$ $$I=\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\alpha d\alpha=\frac{1}{2}\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos2\alpha\right)d\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\left.\left(\alpha+\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}.$$ Так, что энергия излучения электрона: $$W=\frac{\pi e^{6}Z^{2}}{3c^{3}m^{2}\rho^{3}v}.$$