4.67. Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона $v \ll c.$ Найти дифференциальное $\frac{d\sigma}{d\Omega }$ и полное $\sigma $ сечение рассеяния волны с учетом силы лучистого трения.

Гармонический осциллятор в поле плоской волны $$m\ddot{x}+kx=eE_{0}e^{-i\omega t}+f_{t} $$ или $$\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{e}{m}E_{0}e^{-i\omega t}+\frac{1}{m}f_{t}, $$ где $$f_{t}=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\dddot{x}=\frac{2m}{3c}\frac{e^{2}}{mc^{2}}\dddot{x}$$ — лучистое трение.

Уравнение движения $$-\frac{2r_{e}}{3c}\dddot{x}+\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{e}{m}E_{0}e^{-i\omega t}.$$ Ищем решение в виде $x=Ae^{-i\omega t}$, тогда $$A\left(-i\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=\frac{e}{m}E_{0} $$ и, следовательно, $$\ddot{p}=e\ddot{x}=\frac{\omega^{2}eE_{0}e^{-i\omega t}}{m\left(i\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}+\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}. $$ Аналогично, как и в предыдущей задаче, $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{\left\langle \ddot{p}^{2}\right\rangle \sin^{2}\theta}{4\pi c^{3}}=\frac{\sin^{2}\theta}{4\pi c^{3}}\cdot\frac{1}{2}\ddot{p}\ddot{p}^{*}=\frac{\sin^{2}\theta}{8\pi c^{3}}\cdot\frac{\omega^{4}e^{2}E_{0}^{2}}{m^{2}\left(\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}\right)}.$$ $$\left\langle S_{0}\right\rangle =\frac{c}{4\pi}\left\langle E^{2}\right\rangle =\frac{cE_{0}^{2}}{8\pi},$$ $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle }{\left\langle S_{0}\right\rangle }=\frac{\omega^{4}e^{2}\sin^{2}\theta}{m^{2}c^{4}\left(\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}\right)}.$$ Полное сечение найдём интегрированием, с учётом $$\int\sin^{2}\theta d\Omega=2\pi\intop_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta d\theta=-2\pi\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta d\cos\theta=$$ $$2\pi\intop_{-1}^{1}1-t^{2}dt=\frac{8\pi}{3}.$$

тогда

$$\sigma=\frac{8\pi r_{e}^{2}\sin^{2}\theta}{3}\cdot\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}}.$$ Исследуем функцию $$F(\omega)=\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}}$$ при различных частотах.

При $\omega\gg\omega_{0}$: $$F(\omega)\approx\frac{1}{\left(\omega\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+1},$$ при $\omega\approx\omega_{0}$: $$F(\omega)=\frac{9c^{2}}{4\omega^{2}r_{e}^{2}}=\frac{9\lambda^{2}}{16\pi^{2}r_{e}^{2}},$$ при $\omega\ll\omega_{0}$: $$F(\omega)=\frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{3}\frac{2r_{e}}{3c}\right)^{2}+\omega_{0}^{4}}.$$