Найти потенциал $\varphi (x, y, z)$, если плотность заряда $\rho=\rho _0\sin(\alpha x) \sin(\beta y) \sin(\gamma z)$.

Так как распределение плотности заряда $\rho=\rho_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z)$ периодическое, то можно ожидать. что и потенциал будет в виде периодической функции с тем же периодом, т.к. должен удовлетворять уравнению: $$ \Delta\varphi=-4\pi\rho=-4\pi\rho_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z). $$ Будем искать решение в виде: $\varphi=\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z) + \varphi_1$.

Подействуем на потенциал оператором Лапласа: $$ \Delta\varphi=-(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})\varphi_{0}\sin(\alpha x)\sin(\beta y)\sin(\gamma z) + \Delta\varphi_1. $$ Приходим, с одной стороны, к уравнению: $(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})\varphi_{0}=4\pi\rho_{0}$ , следовательно: $\varphi_{0}=\frac{4\pi\rho_{0}}{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$, а с другой стороны к уравнению $$\Delta\varphi_1 = 0,$$ где $\varphi_1 $ — некоторое распределение потенциала в отсутствии зарядов.

Окончательно запишем ответ: