6.55. а)
Два длинных коаксиальных полых цилиндра заряжены
закрепленными противоположными по знаку и равными по величине
зарядами. Поверхностная плотность зарядов внутреннего цилиндра
радиуса $a$ равна $+\sigma$, масса его единицы длины равна $\mu$.
Внешний цилиндр закрутили с угловой скоростью $\omega_-$. Найти
угловую скорость $\omega_+$ внутреннего цилиндра.
б) Твердый непроводящий диск, равномерно заряженный по поверхности, может свободно вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Вначале диск покоился. Затем было включено однородное магнитное поле $\vec{B}=\vec{B}_0e^{i\omega t}$, перпендикулярное плоскости диска. Найти движение диска, если его масса — $m$, а величина заряда на поверхности — $q$.
a)
Магнитное поле, создаваемое вращающимся заряженным цилиндром (в пренебрежении краевыми эффектами) направлено вдоль оси цилиндра и определяется из теоремы Стокса \[ H=\frac{4\pi}{c}j=\frac{4\pi}{c}\sigma v=\frac{4\pi}{c}\sigma \omega a. \] Уравнение вращения цилиндра вокруг оси под действием момента сил имеет вид \[ J\frac{d\omega_{+}}{d t}=\mu a^2\frac{d\omega_{+}}{d t}=N=Fa=\sigma E 2\pi a a, \] где использовалось выражение для момента инерции единицы длины цилиндра \(J=\mu a^2\). Вихревое электрическое поле, которое, собственно говоря, и вращает цилиндр, определяется из закона электромагнитной индукции \[ 2\pi a E=-\frac{1}{c}\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{1}{c}\left[\frac{d\Phi_{-}}{dt}+\frac{d\Phi_{+}}{dt}\right]. \] Магнитные потоки через площадь внутреннего цилиндра, создаваемые вращением цилиндров, равны, соответственно, \[ \Phi_{-}=-\frac{4\pi^2 a^2}{c}\omega_{-}\sigma_{+} a,\;\;\Phi_{+}=\frac{4\pi^2 a^2}{c}\omega_{+}\sigma_{+} a. \] При выводе этих формул использовался факт равенства зарядов цилиндров, который записывается в виде \(\sigma_+ a=\sigma_- b\). В итоге, используя выведенные формулы, уравнение вращения переписывается в виде \[ \mu a^2\frac{d\omega_{+}}{d t}=\frac{4\pi^2 a^4\sigma^2}{c^2}\frac{d}{dt}\left(\omega_{-}-\omega_{+}\right). \] Решение этого уравнения имеет вид \[ \omega_{+}=\frac{4\pi^2 a^2\sigma^2}{\mu c^2}\left(\omega_{-}-\omega_{+}\right)+C_1. \] Из условия \(\omega_{+}=0\) при \(\omega_{-}=0\) получаем \(C_1=0\). Тогда \[ \omega_{+}=\frac{\omega_{-}}{1+\mu c^2/4\pi ^2 a^2 \sigma ^2}. \]
б)
Уравнение движения (вращения) диска записывается в виде \[ J\frac{d\Omega}{d t}=\frac{ma^2}{2}\frac{d\Omega}{d t}=N, \] где \(N\) — суммарный момент сил, \(J=\frac{ma^2}{2}\) — момент инерции диска. \[ N=\int\limits_0^a r \sigma E(r) 2\pi r dr=2\pi\sigma\int\limits_0^a E(r) r^2 dr \] Циркуляция электрического поля определяется из интегрального выражения закона электромагнитной индукции (в пренебрежении магнитного поля, создаваемого самим вращающимся заряженным диском) \[ 2\pi r E(r)=-\frac{\pi r^2}{c}\frac{d H}{d t}=-\frac{i\omega\pi r^2}{c}H_0e^{i\omega t}. \] Тогда уравнение движения диска запишется в виде \[ \frac{d\Omega}{d t}=-i\omega\frac{\pi a^2 \sigma}{2mc}H_0e^{i\omega t}. \] решение это уравнения имеет вид \[ \Omega=\frac{{qa^2 H_0 }}{{4cJ}}\left( {1 - e^{i\omega t} } \right). \]