1.19. Используя теорему Гаусса, найти:

а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$;

б) поле плоского конденсатора;

в) поле равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити с линейной плотностью $\varkappa$.

а) По теореме Гаусса интеграл по поверхности $S$ для поля $\vec E$ ограничивающий некоторый объём $\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$ равен (с точностью до $4\pi$) заряду $q$, заключённому в этом объёме.

Ограничим часть плоскости прямоугольником с гранями перпендикулярными и параллельными плоскости. Тогда из симметрии задачи поле $\vec E$ не может иметь компоненту параллельную плоскости, т.к. в таком случае, нарушается эквивалентность между «правым» «левым» направлениями. Тогда будет иметься только одно направление от/к плоскости. Следовательно, $$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\sigma \cdot S).$$ Где двойка для площади получается из за того, что сверху и снизу от плоскости один и тот же поток (мы всегда можем рассмотреть верхние/нижние грани на одинаковом расстоянии от плоскости). Сокращая получим выражение: $E = 2\pi \sigma $. Если выбрать направление поля для положительного поверхностной плотности для плоскости расположенной при $z=0$, то можно записать

б) Поле внутри конденсатора и снаружи можно найти из предыдущего решения по суперпозиции, т.к. для конденсатора две обкладки имеют противоположный заряд, то поле внутри:

а вне

в) Рассмотрим поток поля от заряженной нити через поверхность цилиндра. Поток через основания цилиндра равно нулю так же из соображения симметрии, а через боковые поверхности: $$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\pi r \cdot l) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\varkappa \cdot l).$$ Так как поле будет иметь только радиальную компоненту, то