1.43. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя и нарисовать примерную картину силовых линий.

Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде \[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \] Используя коэффициенты Ламе для сферической системы координат \(h_r = 1\), \(h_\theta = r\), \(h_\phi = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем: \[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta }} \] В задаче 1.42 мы нашли потенциал линейного квадруполя: $$ \varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right), $$ найдём, теперь, компоненты электрического поля: $$ E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right), $$ $$ E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta. $$ Подставив найденные компоненты в уравнение (1) придём к уравнению: $$ 2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}. $$ Проинтегрируем: $$ \int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}, $$ $$ \int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}. $$ Таким образом интеграл от правой части: $$ 3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1}, $$ где мы переопределили константу.

Интеграл от левой части: $$ \int2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3} . $$ Приравнивая и потенцируя, придём к уравнению

описывающему силовые линии.