2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ — расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти емкость такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов $U$.

Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение \[ \text{div}\vec D = 4\pi \rho_\text{своб}=0. \] Так как в задаче мы пренебрегаем краевыми эффектами, то все величины зависят в ней только от \(x\), а компоненты поля \(\vec E\;\; \text{и}\;\;\vec D\) имеют только \(x\)-компоненту, мы далее будем писать только \(E\;\; \text{и}\;\;D \). Из приведенного выше уравнения следует, что \(D= const \). Из граничного условия для границы металл-диэлектрик \[ D_{2n}-D_{1n} =4\pi \sigma_{\text{своб}} \] для нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что \(D_{1n}=0\), получаем \[ D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=\frac{4\pi Q}S, \] откуда \[ E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S(x+a)}. \]

Для того чтобы получить напряжение на конденсаторе необходимо проинтегрировать поле $E$: $$ U =\int \limits_0^a E dx =\int \limits_0^a \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S(x+a)} dx = \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S}\int\limits_0^a {\frac{dx}{x + a}} = $$ $$ \frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \ln \Bigl. {\left( {x + a} \right)} \Bigr|_0^a = \frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \left( \ln (2a) - \ln (a) \right) = \frac{4\pi Q a \ln 2}{\varepsilon_0 S}. $$ Теперь вычислим ёмкость конденсатора: \[ C = \frac QU= \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}. \]

Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношением \[ \text{div} E=4\pi \rho_\text{связ}, \] откуда \[ \rho_\text{связ} = -\frac{{CUa}}{{\varepsilon _0 S}}\frac{1}{{\left( {x + a} \right)^2 }} \] А плотность связанных зарядов на границах металл-диэлектрик определяется из соотношения на границе \[ \sigma_\text{связ}|_{x=0}=\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=-\frac{CU}{S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon_0}\right), \] а \[ \sigma_\text{связ}|_{x=a}=-\frac{E_{1n}-D_{1n}}{4\pi}=\frac{CU}{S}\left(1-\frac{1}{2\varepsilon_0}\right). \]