5.14. Бесконечный прямой провод с током $J_1$ расположен параллельно плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями $\mu_1$ и $\mu_2$ (провод — в среде с $\mu_1$). Расстояние от провода до границы $a$. Определить магнитное поле во всём пространстве.

Пусть поле в верхней полуплоскости (по аналогии с электростатикой) создает заданный ток $J_1$ и ток \(J_2\), расположенный в нижней полуплоскости симметрично заданному, и они вместе находятся в среде с \(\mu_1\). Предположим также, что поле в нижней полуплоскости создает ток \(J"\), расположенный в месте заданного тока, но находящийся в среде \(\mu_2\). Используя граничные условия на границе раздела сред, попробуем найти величину тока \(J_2\) и \(J''\). Как известно, граничные условия имеют вид \[ \begin{split} H_{1\tau}&=H_{2\tau},\\ B_{1n}&=B_{2n}. \end{split} \] Как известно, поле от бесконечного провода с током \(J\) имеет в цилиндрических координат вид \[ H_{\varphi}=\frac{2J}{cr}. \] Тогда на границе раздела, как видно из рисунка, \[ \begin{split} H_{1\tau}&=\frac{2J_1}{c a}\sin \alpha -\frac{2J_2}{c a}\sin \alpha ,\\ H_{2\tau}&=\frac{2J''}{c a}\sin \alpha , \end{split} \] откуда получаем соотношение для токов \[ J_1-J_2=J''. \] Записывая аналогично граничные условия для нормальных компонент \(\vec B\), получаем \[ \mu_1(J_1+J_2)=\mu_2 J''. \] Решая эти уравнения для токов, получаем \[ \begin{split} J_2 = &J_1\frac{\mu_2-\mu_1}{\mu_1+\mu_2},\\ J'' = &J_1\frac{2\mu_1}{\mu_1+\mu_2}. \end{split} \]