6.102. По цилиндрическому проводнику радиуса $a$ и длины $\ell \ll a$ течет равномерно распределенный по сечению ток $J.$ Показать, что выделяющееся в проводнике джоулево тепло равно энергии электромагнитного поля, которая поступает в проводник извне.

Для поддержания тока $J$ в цилиндрическом проводнике сечением $\pi R^2$ требуется поле $E=\frac{J}{\pi R^2 \sigma}.$ В свою очередь ток создаёт магнитное поле на границе вокруг проводника $H=\frac{2J}{cR}$. Поток энергии определяется вектором Пойтинга: $$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times \vec{H}],$$ тогда $$ S=\frac{c}{4\pi}\frac{J}{\pi R^2 \sigma}\frac{2J}{cR}=\frac{J^2}{2 \pi ^2R^3 \sigma}. $$ Рассеивая мощность зависит от площади поверхности проводника — $2\pi R \ell$ так, что $$ P= S2\pi R \ell= \frac{J^2}{2 \pi ^2R^3 \sigma} 2\pi R \ell= \frac{J^2 \ell }{\pi R^2 \sigma} = J E \ell = J U, $$ где $U$ — падение напряжения на участке длинной $\ell$.