1) Доказать поперечность любой электромагнитной волны, имеющей вид $\vec E=\vec E_0 (t-x\cdot \frac{\sqrt{\varepsilon \mu}}{c}).$ Показать, что $\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu} H.$

2) Найти поток энергии, плотность импульса и момента импульса электромагнитной волны.

3) Записать векторы напряженности плоской монохроматической волны: а) плоскополяризованной; б) поляризованной по кругу; в) эллиптически поляризованной.

$$\text{rot}\boldsymbol{E}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{array}\right|$$

где $\partial_{x}=\frac{\partial}{\partial x}.$

Рассмотрим волну $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}\left(t-x\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\right)$ и подставим её в ротор. Т.к. зависимость от координат только от $x$, то $\left(\text{rot}\boldsymbol{E}\right)_{x}=0=(-\frac{1}{c}\partial_{t}\boldsymbol{B})_x,$ т.е. волна поперечная. Это же следует и из уравнения $\text{div}\boldsymbol{D}=0.$

Решением уравнений Максвелла без зарядов и токов

$$\text{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{1}{c}\partial_{t}\boldsymbol{B}, \ \ \ \text{rot}\boldsymbol{H}=\frac{1}{c}\partial_{t}\boldsymbol{D},$$

$$\text{div}\boldsymbol{D}=0, \ \ \ \text{div}\boldsymbol{B}=0,$$

будет

\begin{eqnarray} \boldsymbol{E} & = & \boldsymbol{E}_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)} \end{eqnarray} и \begin{equation} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)} \end{equation}

для простоты выберем направление $$\boldsymbol{E}_{0}=\left(0,E_{0},0\right)$$

тогда отличная от нуля компонента

$$\left(\text{rot}\boldsymbol{E}\right)_{z}=\left(\text{rot}\left(0,E,0\right)\right)_{z}=-ikE_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)}=-\frac{1}{c}\partial_{t}\left(B_{z}\right)=-\frac{1}{c}i\omega B_{0}e^{i\left(\omega t-kx\right)},$$

следовательно

\begin{eqnarray} kE_{0} & = & \frac{1}{c}\omega B_{0} \end{eqnarray}

аналогично для второго уравнения получим

$$k\frac{B_{0}}{\mu}=\frac{1}{c}\omega\varepsilon E_{0} \text{ тогда } k^{2}\frac{B_{0}}{\mu}=\frac{1}{c}\omega\varepsilon kE_{0}=\frac{1}{c}\omega\varepsilon\frac{1}{c}\omega B_{0}$$

следовательно $$k^{2}\frac{1}{\mu\varepsilon}=\frac{1}{c^{2}}\omega^{2}$$

тогда получим $$\sqrt{\mu\varepsilon}E_{0}=B_{0}=\mu H_{0}$$

и в любой конкретный момент времени $$\sqrt{\mu\varepsilon}E=B=\mu H.$$