2.18. Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсии ($v$ — фазовая скорость):
а) $v=const$ — звук в воздухе;
б) $v=a\sqrt{\lambda}$ — гравитационные волны на воде;
в) $v=\frac{a}{\sqrt{\lambda}}$ — капиллярные волны;
г) $v=\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}$ — электромагнитные волны в ионосфере ($c$ — скорость света; $\lambda$ — длина волны в среде);
д) $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$ — электромагнитные волны в прямолинейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с $\varepsilon=\varepsilon(\omega)$ и $\mu=\mu(\omega)$; $c$ — скорость света в вакууме, $\alpha$ — геометрический фактор волновода.
a)
Фазовая скорость — $v=\frac{\omega}{k}$, групповая скорость — $u=\frac{d\omega}{dk}$, т.к. $v=\text{const},$ то $$u=\frac{d\left(vk\right)}{dk}=v.$$
б)
Можно использовать выражение $\omega=vk$, тогда $\omega=vk=a\sqrt{\lambda}k=a\sqrt{2\pi k}$ и дифференцируя $$u=\frac{d\omega}{dk}=a\sqrt{\frac{\pi}{2k}}=\frac{a\sqrt{2\pi k}}{2k}=\frac{\omega}{2k}=\frac{1}{2}v.$$
С другой стороны, можно воспользоваться формулой связи скоростей $u=v-\lambda\frac{dv}{d\lambda},$ полученной в задаче 2.17 тогда $$u=v-\lambda\frac{d\left(a\sqrt{\lambda}\right)}{d\lambda}=v-\frac{a\sqrt{\lambda}}{2}=v-\frac{v}{2}=\frac{v}{2}.$$
в)
$$u=v-\lambda\frac{d\left(a\lambda^{-\frac{1}{2}}\right)}{d\lambda}=v+\frac{\left(a\lambda^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}=\frac{3}{2}v.$$
г)
$$u=v-\lambda\frac{d\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}{d\lambda}=v-b^{2}\lambda^{2}\frac{1}{\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}=$$ $$v-\frac{b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{v^{2}-b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{c^{2}}{v}.$$
д)
Подставим в выражение $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$ фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$, тогда $\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}=kc$, а с другой стороны $$\omega=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}.$$
Теперь найдём групповую скорость: $$ u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{ck}{\sqrt{\varepsilon\mu}\cdot\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}}-\frac{c}{2\left(\sqrt{\varepsilon\mu}\right)^{3}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=$$ $$\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}.$$
Перейдём теперь от зависимости $\varepsilon\mu$ от волнового вектора к зависимости от частоты: $$\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}\frac{d\omega}{d\omega}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u,$$ тогда $$u=\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u$$ и разрешая относительно скорости $u$ окончательно получим: $$u=\frac{c^{2}}{v\left(1+\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}\right)}.$$