2.17. Вывести формулу Рэлея для связи групповой и фазовой скоростей через $\frac{dv}{d\lambda}$, а также через $\frac{dn}{d\lambda}$.
Продифференцируем фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$ по длине волны: $$ \frac{dv}{d\lambda}=\frac{d\frac{\omega}{k}}{dk}\frac{dk}{d\lambda}= \left(\frac{1}{k}\frac{d\omega}{dk}-\frac{\omega}{k^{2}}\right)\frac{dk}{d\lambda}= $$ $$ \left(\frac{1}{k}u-\frac{v}{k}\right)\frac{dk}{d\lambda}= \left(\frac{1}{k}u-\frac{v}{k}\right)\left(-\frac{k}{\lambda}\right). $$ Таким образом:
$$ u=v-\lambda\frac{dv}{d\lambda} . $$
Так как $v=\frac{c}{n},$ то $$ \frac{dv}{d\lambda}=\frac{d\frac{c}{n}}{d\lambda}=-\frac{c}{n^{2}}\frac{dn}{d\lambda}=-\frac{v}{n}\frac{dn}{d\lambda},$$ тогда
$$ u=v+\lambda\frac{v}{n}\frac{dn}{d\lambda}=v\left(1+\frac{\lambda}{n}\frac{dn}{d\lambda}\right) . $$