3.76. На дифракционную отражающую решетку, параметры которой даны на рисунке, свет падает под углом $\theta .$ Каков порядок спектра, имеющего максимальную интенсивность? Какая ширина $\Delta \lambda $ спектра (при длине волны $\lambda $) может быть получена при этом без перекрытия спектров соседних порядков?

По сравнению с задачей 3.75 для выяснения зависимости интенсивности от угла, разделим задачу на две части:

1. Как зависит зависимость от угла для одной поверхности длины $d$ в периодической структуре и

2. Как отличаются друг от друга две ближайшие поверхности, каким сдвигом фазы?

Для ответа на первый вопрос обратим внимание на рисунок. Для вычисления разности прохождения $\Delta$ нам надо отсчитывать от новой нормали, которая повёрнута на угол $\alpha$ и для этой поверхности можем использовать углы $\theta'=\theta+\alpha$ и $\varphi'=\varphi-\alpha,$ а так же координату $x'=\frac{x}{\cos\alpha}.$

Тогда с учётом предыдущей задачи можем записать, что $$\Delta=x'\left(\sin\varphi'-\sin\theta'\right)=\frac{x}{\cos\alpha}\left(\sin\left(\varphi-\alpha\right)-\sin\left(\theta+\alpha\right)\right).$$

Именно этот набег даёт вклад в дифракционную картину описываемую функцией — $$\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right),$$ которая, в нашем случае, станет $$\text{sinc}\left(\frac{1}{2}k\frac{d}{\cos\alpha}\left(\sin\left(\varphi-\alpha\right)-\sin\left(\theta+\alpha\right)\right)\right).$$

При ответе на второй вопрос — о набеге фазы между двумя ближайшими наклонными поверхностями, то тут ситуация никак не изменилась по сравнению с плоским случаем, а он даёт множитель $$\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Ndu\right)}{N\sin\left(\frac{1}{2}du\right)},$$ где $u$ как и раньше $$u=k\left(\sin\varphi-\sin\theta\right).$$

Теперь можно записать окончательно:

$$I=I_{0}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Ndk\left(\sin\varphi-\sin\theta\right)\right)}{N\sin\left(\frac{1}{2}dk\left(\sin\varphi-\sin\theta\right)\right)}\right)^{2}\text{sinc}^{2}\left(\frac{kd}{2\cos\alpha}\left(\sin\left(\varphi-\alpha\right)-\sin\left(\theta+\alpha\right)\right)\right).$$

Главный максимум будет при угле $\varphi$ когда $$\sin\left(\varphi-\alpha\right)=\sin\left(\theta+\alpha\right).$$ Если углы малые, то $$\varphi\approx\theta+2\alpha .$$

Порядок максимума зависит от первого множителя, и максимум будет когда $$\frac{1}{2}dk\left(\sin\varphi-\sin\theta\right)=\pi m,$$

$$\frac{d}{\lambda}\left(\sin\varphi-\sin\theta\right)=m$$

и при малых углах главный максимум интенсивности наблюдается в порядке

$$m\approx \frac{d}{\lambda}\left(\varphi-\theta\right)=\frac{2\alpha d}{\lambda}.$$