2.10. Оценить ёмкость:
а) металлической пластинки с размерами $h\ll a\ll\ell$ и
б) цилиндра с $a\ll\ell$.
2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ — расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти емкость такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов $U$.
2.12. Внутрь разомкнутого конденсатора мгновенно вставляют электрет–брусок, состоящий из частиц с дипольными моментами $\vec d _0$, ориентированными одинаково и ортогонально пластинам конденсатора, расстояние между которыми $h$. Число частиц в единице объема $n_0$. Размеры электрета совпадают с размерами конденсатора. Найти напряжение на пластинах конденсатора.
2.13. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок $a$ и $b$ диэлектрическая проницаемость меняется по закону \[ \varepsilon \left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon _1, \mbox{ при } a \le r < c \\ \varepsilon _2, \mbox{ при } c \le r \le b \\ \end{array} \right., \] где $a<c<b$. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов $\sigma_\text{связ}$ и полный связанный заряд в диэлектрике.
2.14. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла $\Omega$ с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок — $a$ и $b$, проницаемость диэлектрика — $\varepsilon$. Найти емкость конденсатора.
2.15. Найти взаимную ёмкость двух шаров радиуса $a$, если расстояние между их центрами равно $b\gg 2a$.
2.18.
Три одинаковые проводящие пластины $A$, $B$ и
$C$ расположены параллельно
друг другу на расстояниях $d_1$ и $d_2$.
Вначале на
пластине $A$ находится заряд $q$, а пластины $B$ и $C$ не
заряжены. Затем к пластинам $B$ и $C$ присоединяется батарея с
эдс, равной $U$, а пластины $A$ и $C$ соединяются проводником.
Найти установившиеся заряды на пластинах. Площадь пластины
равна $S$.
182. Ёмкости двух уединённых проводников равны $C_1$ и $C_2$. Эти проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon $ вакууме на расстоянии $r,$ большом по сравнению с их собственными размерами.
Показать, что ёмкостные коэффициенты системы равны: $$ c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt} c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt} c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr). $$
УКАЗАНИЕ. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностью до величины $\frac 1r.$
183. Ёмкостные коэффициенты системы двух проводников равны $c_{11},$ $c_{22},$ $c_{12}=c_{21}.$ Найти ёмкость $C$ конденсатора, обкладками которого служат эти два проводника.