Металлическая труба, бесконечная вдоль оси \(z\), имеет прямоугольное сечение \(a\times b\). Одна из сторон имеет потенциал \(U\), а остальные — потенциал \(0\). Найти распределение потенциала внутри трубы.

Расположим сечение \(z=0\) по отношению к осям как показано на рисунке. Поскольку труба бесконечна вдоль \(z\), то зависимость от \(z\) отсутствует и мы имеем задачу с двумя переменными. Поскольку внутри трубы зарядов нет, потенциал внутри удовлетворяет уравнению Лапласа \begin{equation} \triangle \psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 \end{equation} и граничным условиям \(\psi(0,y)=\psi(x,0)=\psi(x,b)\), \(\psi(a,y)=U.\) Предположим, что решение уравнения (1) (или, хотя бы частное его решение) можно представить в виде \begin{equation} \psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y). \end{equation} Тогда, разделив уравнение (1) на \(X(x)Y(y)\), его можно переписать в виде \begin{equation} \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=0. \end{equation} Перенеся одно из слагаемых в правую часть уравнения, получим, что функция от \(x\) равна во всей области определения функции от \(y\), что возможно только в случае когда обе эти функции — константы, причем \begin{equation} \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}=- \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=\lambda^2. \end{equation} Можно было бы просто в правой части записать константу и не определять ее знак. Впрочем приведенная запись не гарантирует положительность правой части (например, если \(\lambda\) – мнимая). На самом деле далее будет показано, что только такой выбор знака для нашей задачи позволяет получить нетривиальное решение. Очевидно, что вместо 1 уравнения с частными производными мы получили систему двух уравнений, каждое из которых - обыкновенное дифференциальное уравнение. \begin{equation} \begin{split} &Y''+\lambda^2 Y=0,\\ &X''-\lambda^2 X=0. \end{split} \end{equation} Общее решение первого уравнения имеет вид \[ Y(y)=A\sin (\lambda y)+B\cos (\lambda y). \] Граничные уравнения для этого уравнения получаются из общих граничных условий \[ \psi(x,0)=\psi(x,b)=0, \Rightarrow X(x)Y(0)=0, X(x)Y(b)=0, \] откуда получаем требуемые два условия \begin{equation} Y(0)=0,Y(b)=0. \end{equation} Из уравнения для \(Y\) и приведенных выше граничных условий следует, что если бы в первом уравнении системы (5) знак у константы был противоположным, то полученные в этом случае экспоненциальные решения не смогли бы одновременно удовлетворить граничным условиям (6). Используя граничные условия можно получить следующий набор (бесконечный) частных решений, удовлетворяющих и уравнению и граничным условиям \[ Y_n(y)=A_n\sin\left(\frac{n\pi }{b}y\right),\;\;\lambda_n=\frac{n\pi}{b},\;\;n=1,2,... \] Подставив значение \(\lambda_n\) во второе уравнение системы (5), получим решение этого уравнения \[ X(x)=A\text{sh} \frac{n\pi}{b}x+B\text{ch} \frac{n\pi}{b}x. \] Из граничного условия на границе \(x=0\) следует, что \(X(0)=0\), откуда получается, что частные решения этого уравнения, удовлетворяющее условию на левой границе имеют вид \begin{equation} X_n=B_n\text{sh} \frac{n\pi}{b}x. \end{equation} Используя полученные частные решения для \(X\) и \(Y\), а также принцип суперпозиции, можно записать общее решение всей задачи (удовлетворяющее только 3 граничным условиям) в виде \begin{equation} \varphi(x,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty A_n \text{sh}\frac{n\pi}{b}x\sin\frac{n\pi}{b}y. \end{equation} Теперь можно использовать четвертое граничное условие (\(\varphi(a,y)=U\)) для определения коэффициентов \(A_n\). Это граничное условие переписывается в виде \begin{equation} \varphi(a,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty A_n \text{sh}\frac{n\pi a}{b} \sin\frac{n\pi}{b}y=U. \end{equation} Для определения коэффициентов этого ряда можно воспользоваться формулами для определения коэффициентов ряда Фурье, поскольку именно ряд Фурье по \(y\) записан в выражении для граничного условия. А можно явно домножить правую и левую часть уравнения (9) на \(\sin \frac{m\pi}{b}y\) и проинтегрировать обе стороны полученного равенства по \(y\) от \(0\) до \(b\)/ Поскольку на этом интервале функции \(\sin \frac{m\pi}{b}y\) для разных \(n\) и \(m\) ортогональны, то в сумме останется только член с \(n=m\). \begin{equation} A_m \text{sh}\frac{m\pi a }{b}\int\limits_0^b \sin^2 \frac{m \pi y}{b} dy=U\int\limits_0^b\sin\frac{m\pi y}{b} dy. \end{equation} Интеграл слева вычисляется следующим образом \[ \int\limits_0^b \sin^2 \frac{m \pi y}{b} dy=\frac{b}{m\pi}\int\limits_0^{m\pi} \sin^2 t dt=\frac{b}{m\pi}\frac{m\pi}{2}=\frac{b}{2}. \] Интеграл справа вычисляется элементарно \[ \int\limits_0^b\sin\frac{m\pi y}{b} dy=-\frac{b}{m\pi}\int\limits_0^{m\pi}d(\cos t)=-\frac{b}{m\pi}\left(\cos m\pi -1\right) \] Из этого выражения ясно, что отличны от нуля коэффициенты только при нечетном \(m\), т.е. при \(m=2k+1\). Окончательно получаем \[ A_{2k+1}=\frac{4U}{(2k+1)\pi\text{sh}\frac{(2k+1)\pi a}{b}}, \] или, окончательно получаем \[ \varphi(x,y)=\frac{4U}{\pi}\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\text{sh}\frac{(2k+1)\pi x}{b}}{\text{sh}\frac{(2k+1)\pi a}{b}} \sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}. \] таким образом, использованный метод разделения переменных позволил нам получить общее решение о потенциале внутри прямоугольника в общем виде. При этом следует сделать два замечания

1. Если необходимо решить задачу с разными значениями потенциала на всех четырех границах, то это делается на основании принципа суперпозиции, используя полученное выше решение.
2. Ряд сходится довольно плохо, особенно вблизи правой границы.