6.4. Внутри металлической сферы радиуса $R$ по диаметру проходит тонкая проволочка радиуса $r_0\ll R$. По ней идет ток $J$, далее растекающийся по сфере и снова сходящийся к проволочке. Найти: а) магнитное поле внутри и вне сферы; б) оценить индуктивность системы.

Система имеет аксиальную симметрию и отлична от нуля только \(H_\alpha\)-компонента магнитного поля. Это поле вычисляется внутри сферы при помощи теоремы Стокса и \[ H_\alpha=\frac{2J}{cr}, \] где \(r\)–радиус в цилиндрической системе координат. Вне сферы поле очевидно равно 0. Тогда плотность энергии внутри сферы и вне проволочки \[ w=\frac{H_\alpha^2}{8\pi}=\frac{J^2}{2\pi c^2 r^2}. \] Полная энергия магнитного поля (в пренебрежении энергии внутри проволочки) запишется в виде интеграла по объему сферы за вычетом объема проволочки \[ W=\frac{4J^2}{8\pi c^2} \int\limits_0^{2\pi} d \alpha \int\limits_{-R}^{R} d z \int\limits_{r_0}^{\sqrt{R^2-z^2}} \frac{d r}{r}=\frac{J^2}{2c^2}\int\limits_{-R}^R d z\left[\ln\frac{R^2}{r_0^2}+\ln\left(1-\frac{z^2}{R^2}\right)\right]. \] Можно пренебречь вторым члено в полученном интеграле, но оказывается он вычисляется точно, не говоря уже о возможности его обезразмерить и посчитать численно. \[ W=\frac{J^2}{2c^2}\left[4R\ln\frac{R}{r_0}+R\int\limits_{-1}^{1}\ln(1-x^2)d x\right]. \] Подынтегральная функция симметрична по \(x\), поэтому интеграл в квадратных скобках равен \[ Int=\int\limits_{-1}^{1}\ln(1-x^2)\ d x=2\int\limits_{0}^{1}\ln(1-x^2)\ d x=2\int\limits_{0}^{1}\left[\ln(1-x)+\ln(1+x)\right]. \] Вспоминая, что интеграл \(\int \ln(x) \ d x\) вычисляется по частям, \[ \int \ln(x)\ d x= x\ln(x) - x, \] можно записать \[ Int= -4+4\ln(2)\approx -1.23. \] Даже если \(R/r_0 \sim 10\), то очевидно, что вторым членом в выражении можно пренебречь и мы получаем \[ W=\frac{LJ^2}{2c^2} \approx \frac{J^2}{2c^2}4R\ln\frac{R}{r_0}, \] откуда \[ L \approx 4R\ln\frac{R}{r_0}. \]