5.24. Найти максимальное магнитное поле шарообразного постоянного магнита радиуса $R\!=\!10$ см, приняв в данном случае зависимость $B(H)\!=\!4\pi B_0(1+\frac{H}{H_0}),$ где поле насыщения $B_0=2\text{ Тл}$, а коэрцитивная сила $H_0=100$ Э.

Поскольку намагничение в шаре постоянно, будем считать что и магнитное поле и магнитная индукция в шаре постоянны и равны \(\vec H_1\) и \(\vec B_1\) соответственно. Тогда намагниченность шара определяется соотношением \[ \vec B=\vec H+4\pi \vec M. \] Полный магнитный момент шара \(\vec m=\frac{4}{3}\pi R^3 \vec M\). Магнитное поле (и равная ему индукция) вне шара определяются соотношением \[ \vec B_2=\vec H_2=-\frac{\vec m}{r^3}+\frac{3(\vec m \vec r)\vec r}{r^5}. \] На границе шар-вакуум должны выполняться граничные условия \(B_{1n}=B_{2n}\), которые следуют из уравнения \(\text{div} \vec B=0\). Выбирая ось \(z\) вдоль намагниченности шара, можно это условие записать в виде \[ B_1\cos\theta=-\frac{m}{R^3}\cos\theta + \frac{3}{R^3}m\cos\theta, \] или, сокращая на \(\cos\theta\) и используя приведенное выше определение \(m\), можно переписать это соотношение \[ B_1=\frac{2}{R^3}m=\frac{2}{3}(B_1-H_1). \] Откуда \(B_1=-2H_1\). Поскольку соотношение для \(B(H)\) выполняется во всех точках, мы можем записать \[ B_1=B_0\left(1+\frac{H_1}{H_0}\right)=B_0\left(1-\frac{B_1}{2H_0}\right); \] откуда окончательно получаем \[ B_1=\frac{B_0}{1+\frac{B_0}{2H_0}}=\frac{2\cdot 10^4}{1+\frac{2\cdot 10^4}{200}}\approx 200\text{Гс}. \] Поскольку на полюсе, т.е. при \(\theta=0,\;\; \vec B_2=\vec H_2=\vec B_1\) то это и будет максимальное поле вне магнита.