3.33. Обобщить закон «3/2» на область ультрарелятивистских энергий.

Единственное, что отличает релятивистский случай от нерелятивистского – это закон сохранения энергии. Уравнение Пуассона и граничные условия остаются в том же виде. \[\triangle\varphi(x)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=j/v.\] Теперь наша задача – найти релятивистскую зависимость \(v\) от \(\varphi\). В релятивистской механике закон сохранения энергии записывается в виде \[ \gamma m c^2-e\varphi=mc^2,\,\,\,\text{или}\,\, \gamma-\frac{e}{mc^2}\varphi=1. \] Выбрав систему единиц, в которой \( e=1,\,\,m=1,\,\,c=1,\,\,\text{и, следовательно,}\,\,{e}/{mc^2}=1\), т.е. потенциал измеряется в единицах \({e}/{mc^2}\), скорость измеряется в единицах скорости света и т.д., получим \[ \gamma=1+\varphi,\,\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=1+\varphi,\,v=\beta=\frac{\sqrt{\varphi(\varphi+2)}}{1+\varphi}. \] Уравнение Пуассона для релятивистских электронов тогда запишется в виде \[ \frac{d^2 \varphi}{d x^2}=-4\pi j\frac{1+\varphi}{\sqrt{\varphi(\varphi+2)}}. \] используя тот же прием, что и ранее, т.е. домножив обе части уравнения на \(\frac{d \varphi}{d x}\), уравнение можно один раз проинтегрировать, и , используя граничное условие на катоде, получим первый интеграл \[ \frac{1}{2}\left(\frac{d\varphi}{d x}\right)^2=-4\pi j\sqrt{\varphi(\varphi+2)}. \] К сожалению проинтегрировать это уравнение в рациональных функциях не удается, и мы рассмотрим ультрарелятивистский предел, т.е. \(\gamma \gg 1,\,\,\text{откуда}\,\, \varphi \gg 1\). Тогда первый интеграл перепишется в виде \[ \frac{d \varphi}{d x}=\left(-8\pi j \varphi\right)^{1/2}. \] Интегрируя и используя граничные условия, получаем решение \[ \varphi=-2\pi j x^2, \] а при \(x=d\) используя \(varphi(d)=U\) получаем соотношение типа закона Ома \[ j=-\frac{U}{2\pi d^2}, (\text{в обезразмеренных единицах}), \] а в единицах CGSE \[ j = \frac{{cU}}{{2\pi d^2 }}.\]