2.29. В металлическом изолированном шаре радиуса $a$ имеется сферическая полость, в центре которой закреплен заряд $q_0.$ Вне шара на расстоянии $\ell$ от его центра расположен второй заряд $q.$ Найти силу действующую на заряд q.

Рассмотрим поток поля $\Phi _{внутри}= \oint \limits _S (\vec E \cdot d\, \vec s)$ через поверхность внутри шара, окружающую полость. Так как поверхность внутри металла, то поле $\vec E$ в стационарном случае нулевое, следовательно и поток $\Phi = 0$. Таким образом внутри полости образуется индуцированный заряд $q_0'=-q_0$, который некоторым образом расположится по внутренней поверхности полости.

В итоге, рассматривая произвольные контуры внутри шара, которые не пересекают полость, мы не увидим отличий от цельнометаллического шара: поле и поток везде нулевые.

Поток снаружи шара всё равно должен показать наличие заряда, т.е. $\Phi _{снаружи}= \oint \limits _S (\vec E \cdot d\, \vec s) = 4\pi q_0$. Но у нас уже есть одно решение для металлического шара, который находится под одним потенциалом с ненулевым потоком поля — поле равномерно заряженной металлической сферы. Ввиду совпадений граничных условий и единственности решения оно будет и нашим решением.

Добавим теперь влияние внешнего заряда воспользовавшись решением задачи 2.27, тогда появится ещё два заряда: $q'=-q\frac al$ на расстоянии $l'=\frac{a^2}{l}$ от центра шара, и $q''=q\frac al$ в центре шара.

Таким образом мы пришли к условию задачи 2.28 с зарядом сферы $Q=q_0$, воспользуемся её решением:

$$ F=\frac{q_0q}{\ell^2}- \frac{q^2a^3(2\ell^2-a^2)}{\ell^3(\ell^2-a^2)^2}. $$