6.3. Вычислить самоиндукцию единицы длины коаксиального кабеля, жила которого имеет радиус $R_0$, а оболочка — внутренний радиус $R_1$, наружный — $R_2$. Магнитная проницаемость проводов — $\mu_1$, изоляции между ними — $\mu_2$.

В коаксиальном кабеле ток течет по центральной жиле радиуса $\,R_0$ и возвращается по оболочке, внутренний и внешний радиусы которой равны $\,R_1$ и $\,R_2$. Пусть в кабеле течет ток $\,J$. Тогда магнитное поле внутри центральной жилы равно (см. задачу 6.2): $$H_{\alpha}=\frac{2J}{cR_0^2}\,r\, \qquad \mbox{при}\qquad r\leq R_0\,.$$ Ввиду аксиальной симметрии проводников напряженность магнитного поля также обладает аксиальной симметрией. Применяя теорему о циркуляции вектора~$\vec{H}$ (см.~6.2), находим, что для:

а) $R_0\leq r\leq R_1$ $$ H_{\alpha}\cdot2\pi r=4\pi J/c,$$ откуда $$H_{\alpha}=\frac{2J}{c\,r}\,;$$

б) $R_1\leq r\leq R_2$ $$ H_{\alpha}\cdot2\pi r=\frac{4\pi J}{c}- \frac{4\pi J}{c}\;\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2},$$ откуда $$H_{\alpha}=\frac{2J}{c\,r}\,\frac{R_2^2}{R_2^2-R_1^2}- \frac{2Jr}{c\,(R_2^2-R_1^2)}\,.$$ При $r>R_2\;\;H=0$. Энергия, запасенная в единице длины кабеля: \[ \begin{split} W&=\frac{1}{8\pi}\int(\vec{B}\,\vec{H})\,dv= \frac{\mu_1J^2}{4c^2}+ \frac{\mu_2}{8\pi}\int\limits_{R_0}^{R_1} \bigg(\frac{2J}{cr}\bigg)^2\,2\pi r\,dr+\\ &+\frac{\mu_1}{8\pi}\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{(2J)^2}{c^2(R_2^2-R_1^2)^2} \bigg(\frac{R_2^2}{r}-r\bigg)^2\,2\pi r\,dr=\\ &=\frac{\mu_2J^2}{c^2}\ln\frac{R_1}{R_0} + \frac{\mu_1J^2R_2^4\ln (R_2/R_1)}{c^2(R_2^2-R_1^2)^2}- \frac{\mu_1J^2R_2^2}{2c^2(R_2^2-R_1^2)}, \end{split} \] где $\,\vec{B}=\mu\vec{H}$. С другой стороны, $\;W=LJ^2/2c^2$, где $\,L$ – индуктивность единицы длины кабеля. Сравнивая энергии, получаем для коэффициента самоиндукции выражение $$L=2\mu_2\ln\frac{R_1}{R_0} + \frac{2\mu_1R_2^4}{(R_2^2-R_1^2)^2}\ln\frac{R_2}{R_1}- \frac{\mu_1R_2^2}{R_2^2-R_1^2}\,.$$