6.37. Горизонтальный стержень веса $P$ и длины $\ell$ скользит без трения по двум вертикальным стержням, соединенным внизу конденсатором емкости $C$. Имеется однородное магнитное поле $\vec{B}$ перпендикулярное плоскости падения стержня. Найти ускорение стержня, пренебрегая электрическим сопротивлением образованной цепи (все стержни — проводящие).

Направление вектора $\,\vec{B}$ выбрано от читателя. Магнитный поток сквозь замкнутый контур 01230 будет меняться из-за изменения площади контура. Возникающая в контуре эдс индукции равна $${\cal E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t}= -\frac{1}{c}\ell B\dot{y},$$ поскольку $$\Phi=B\ell y\,,$$ где $\,y$ — координата горизонтального стержня. Начало координат выбрано на уровне конденсатора. По контуру течет ток, как показано на рисунке, так как в контуре действует эдс. При вычислении эдс мы пренебрегли магнитным полем, создаваемым этим током. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений по замкнутому контуру равна сумме эдс, действующих в контуре. Поэтому падение напряжения на емкости $\;U_c={\cal E}$. С другой стороны, $\;U_c=Q/C$, где $\,Q$ — заряд конденсатора, а $\,C$ — емкость конденсатора. Значит, \begin{equation} (1) \hspace{10pt} Q=-\frac{\ell B\dot{y}C}{c}\,. \end{equation}

Составим уравнение движения стержня (второй закон Ньютона). На стержень действует сила тяжести $P=\,m\vec{g}$, направленная вниз (противоположно положительному $\,y$), и сила Лоренца, направленная вверх. Поэтому $$m\ddot{y}=-mg+\frac{JB\ell}{c}\,,$$ где $\,g$ — ускорение свободного падения; $\,J$ – ток в контуре; $\,\ddot{y}$ — ускорение стержня. Дифференцируя уравнение (1) и учитывая, что $J=\displaystyle\frac{dQ}{dt}$, окончательно получаем $$\ddot{y}=-\frac{g}{1+\displaystyle\frac{\ell^2B^2C}{mc^2}}\,.$$