3.1. На полый металлический цилиндр, радиус крышек-торцов которого равен $a$, падает параллельно оси цилиндра однородный поток электронов. Заряд электрона — $e$, скорость — $v$, число электронов в единице объема — $n$. Собираемый заряд через амперметр, подсоединенный к центру нижнего торца, уходит на землю. Найти распределение тока на торцах $j_{1,2}(R)$.
3.2. Пучок заряженных частиц с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $v_0$ каждая влетает в пространство с электрическим полем $\vec{E}$ в направлении вдоль поля и проходит в нем путь $\ell$. Найти плотность тока пучка на выходе, если на входе она равна $j_0$, а также скорость и плотность числа частиц в пучке.
3.3. В бесконечную проводящую с проводимостью $\sigma$ и проницаемостью $\varepsilon$ среду помещен заряд $Q$. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого заряд в этой точке уменьшится в $e$ раз.
3.4. Найти закон преломления линий тока на плоской поверхности раздела двух сред с проводимостями $\sigma_1$ и $\sigma_2$.
3.5. Пространство между бесконечно длинными коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов $a,b$ заполнено веществом с проводимостью $\sigma(r)=\alpha r^n$. Найти распределение потенциала в пространстве между цилиндрами и сопротивление на единицу длины. Потенциалы цилиндров: $U(a)=0,$ $U(b)=U_0$.
3.7. Из толстой длинной трубы с радиусами $a$ и $b$, сделанной из материала с проводимости $\sigma$, вырезана вдоль оси часть с угловым размером $\alpha_0$. К продольным плоскостям разреза подведено напряжение $U$. Найти распределение плотности тока $j(r)$ по сечению отрезка трубы и сопротивление единицы длины. Краевыми эффектами пренебречь.
3.9. Найти стационарное поле $E$ в плоском конденсаторе с напряжением $U$, диэлектрик которого состоит из двух слоев толщины $\ell_1, \ell_2$ с диэлектрическими постоянными $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ и проводимостями $\sigma_1, \sigma_2$. Определить свободный и связанный заряды на границе раздела сред.
3.18. Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара радиуса $a$, на половину утопленного в землю (проводимость земли $\sigma_1=\text{const}$). Слой земли радиуса $b$, концентрический с шаром и прилегающий к нему, имеет искусственно повышенную проводимость $\sigma_2$. Найти сопротивление такого заземлителя.
3.19. Концы некоторой цепи заземлены с помощью двух идеально проводящих сфер (радиусы их $a_1$ и $a_2$), на половину утопленных в землю, служащей вторым проводом. Расстояние между этими сферами $\ell\gg a_1, a_2$, проводимость земли — $\sigma$. Найти сопротивление между заземлителями.
3.21. Оценить сопротивление заземления, выполненного в форме пластины с размерами $\ell\gg a\gg h$. Оценить напряженность электрического поля вокруг этого заземления, если заземление находится на глубине $r\gg\ell$. Найти «шаговое» напряжение (длина шага $\lambda$) вблизи этого заземления.
3.24. В бесконечной среде с проводимостью $\sigma$, где шел ток с плотностью $\vec{j}_0$, всюду одинаковой, возникла сферическая полость радиуса $R$ (внутри полости $\sigma=0$). Найти результирующее распределение токов $\vec{j}(\vec{r})$.
3.44. В неоднородной проводящей среде с проводимостью $\sigma(\vec{r})$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\vec{r})$ поддерживается стационарное распределение токов $\vec{j}(\vec{r})$. Найти объемное распределение зарядов $\rho(\vec{r})$ в этой среде.